Номер 3.51, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.51. Покажите, что выполняется равенство $\frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}$, если числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Здесь $a_1 \neq 0, a_2 \neq 0, \dots, a_n \neq 0$.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_1, a_2, \dots, a_n$ с разностью $d$. По определению арифметической прогрессии, для любого натурального $k$ от $1$ до $n-1$ справедливо равенство $a_{k+1} - a_k = d$. По условию задачи, все члены прогрессии отличны от нуля ($a_k \neq 0$).

Для доказательства равенства рассмотрим два возможных случая в зависимости от значения разности прогрессии $d$.

1. Случай $d=0$.
Если разность прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой: $a_1 = a_2 = \dots = a_n = a$. Поскольку по условию $a_k \neq 0$, то и $a \neq 0$.
Левая часть исходного равенства представляет собой сумму $n-1$ одинаковых слагаемых:
$ \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \underbrace{\frac{1}{a \cdot a} + \frac{1}{a \cdot a} + \dots + \frac{1}{a \cdot a}}_{n-1 \text{ раз}} = (n-1) \frac{1}{a^2} = \frac{n-1}{a^2} $
Правая часть равенства в этом случае равна:
$ \frac{n-1}{a_1 a_n} = \frac{n-1}{a \cdot a} = \frac{n-1}{a^2} $
Левая и правая части равны, следовательно, при $d=0$ равенство выполняется.

2. Случай $d \neq 0$.
Преобразуем общий член суммы $ \frac{1}{a_k a_{k+1}} $, используя разность прогрессии $d = a_{k+1} - a_k$. Поскольку $d \neq 0$, мы можем на него делить:
$ \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{d}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_{k+1} - a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{a_{k+1}}{a_k a_{k+1}} - \frac{a_k}{a_k a_{k+1}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) $.
Теперь запишем всю сумму $S$, находящуюся в левой части доказываемого равенства, используя это представление для каждого слагаемого:
$ S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{d} \left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right) $.
Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{d}$ за знак суммы. Оставшаяся сумма является телескопической (или "сворачивающейся"):
$ S = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right) = \frac{1}{d} \left[ \left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2}\right) + \left(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_n}\right) \right] $.
Все промежуточные члены в квадратных скобках взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний члены:
$ S = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_n} \right) $.
Приводя дроби в скобках к общему знаменателю, получаем:
$ S = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_n - a_1}{a_1 a_n} $.
Из формулы n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ следует, что разность $a_n - a_1 = (n-1)d$. Подставим это выражение в формулу для $S$:
$ S = \frac{1}{d} \cdot \frac{(n-1)d}{a_1 a_n} = \frac{n-1}{a_1 a_n} $.
Это в точности совпадает с правой частью исходного равенства.

Поскольку равенство выполняется как при $d=0$, так и при $d \neq 0$, оно доказано для любой арифметической прогрессии, удовлетворяющей условиям задачи.

Ответ: Равенство $\frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}$ доказано.