Номер 3.45, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.45. При каких значениях $n$ арифметической прогрессии

$\{x_n\}$ выполняется неравенство:

1) $x_n \ge 0, x_{n+1} < 0$, если $x_1=8,7, d=-0,3,$?

1)

Дана арифметическая прогрессия $\{x_n\}$ с первым членом $x_1 = 8,7$ и разностью $d = -0,3$. Необходимо найти такое натуральное число $n$, при котором одновременно выполняются два неравенства: $x_n \ge 0$ и $x_{n+1} < 0$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$.

Нам нужно решить систему из двух неравенств относительно $n$, где $n$ - натуральное число:
$\{ \begin{matrix} x_n \ge 0 \\ x_{n+1} < 0 \end{matrix} $
Подставим в неравенства формулу n-го члена с заданными значениями $x_1$ и $d$:
$\{ \begin{matrix} x_1 + (n-1)d \ge 0 \\ x_1 + nd < 0 \end{matrix} $
$\{ \begin{matrix} 8,7 + (n-1)(-0,3) \ge 0 \\ 8,7 + n(-0,3) < 0 \end{matrix} $

Решим каждое неравенство отдельно.
Первое неравенство:
$8,7 - 0,3(n-1) \ge 0$
$8,7 - 0,3n + 0,3 \ge 0$
$9 - 0,3n \ge 0$
$9 \ge 0,3n$
$n \le \frac{9}{0,3}$
$n \le 30$

Второе неравенство:
$8,7 - 0,3n < 0$
$8,7 < 0,3n$
$n > \frac{8,7}{0,3}$
$n > 29$

Мы получили, что искомое натуральное число $n$ должно удовлетворять двойному неравенству $29 < n \le 30$. Единственное натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это $n=30$.

Сделаем проверку:
Найдем $x_{30}$: $x_{30} = x_1 + (30-1)d = 8,7 + 29 \cdot (-0,3) = 8,7 - 8,7 = 0$. Условие $x_{30} \ge 0$ выполняется, так как $0 \ge 0$.
Найдем $x_{31}$: $x_{31} = x_1 + (31-1)d = 8,7 + 30 \cdot (-0,3) = 8,7 - 9,0 = -0,3$. Условие $x_{31} < 0$ выполняется, так как $-0,3 < 0$.
Оба условия для $n=30$ выполняются.

Ответ: $n=30$.