Номер 3.49, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.49. Найдите двадцатый член возрастающей арифметической прогрессии $ {a_n} $, если выполняются равенства $ a_2 a_5 = 52 $ и $ a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 34 $.

Пусть дана возрастающая арифметическая прогрессия $\{a_n\}$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По условию, прогрессия является возрастающей, следовательно, ее разность $d > 0$.

Нам даны два равенства:

1. $a_2 \cdot a_5 = 52$

2. $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 34$

Рассмотрим второе равенство. Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: сумма членов, равноудаленных от концов, одинакова. Для членов $a_2, a_3, a_4, a_5$ справедливо равенство $a_2 + a_5 = a_3 + a_4$.

Тогда второе равенство можно переписать так:

$(a_2 + a_5) + (a_3 + a_4) = 34$

$(a_2 + a_5) + (a_2 + a_5) = 34$

$2(a_2 + a_5) = 34$

$a_2 + a_5 = 17$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a_2$ и $a_5$:

$\begin{cases} a_2 + a_5 = 17 \\ a_2 \cdot a_5 = 52 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $a_2$ и $a_5$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 17x + 52 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 289 - 208 = 81$

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{81}}{2} = \frac{17 - 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{81}}{2} = \frac{17 + 9}{2} = \frac{26}{2} = 13$

Таким образом, значения членов $a_2$ и $a_5$ — это 4 и 13. Поскольку по условию прогрессия возрастающая, то для $n > m$ должно выполняться $a_n > a_m$. Так как $5 > 2$, то $a_5 > a_2$. Следовательно, $a_2 = 4$ и $a_5 = 13$.

Теперь найдем разность прогрессии $d$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим $a_5$ через $a_2$:

$a_5 = a_2 + (5-2)d$

$13 = 4 + 3d$

$3d = 13 - 4$

$3d = 9$

$d = 3$

Так как $d = 3 > 0$, условие о возрастании прогрессии выполняется.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_2$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d$

$4 = a_1 + 3$

$a_1 = 4 - 3 = 1$

Наконец, найдем двадцатый член прогрессии $a_{20}$ по формуле n-го члена:

$a_{20} = a_1 + (20-1)d$

$a_{20} = 1 + 19 \cdot 3$

$a_{20} = 1 + 57$

$a_{20} = 58$

Ответ: 58