Страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.52. Могут ли числа:

1) $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5};$

2) $\sqrt{5}-\sqrt{2}, 1, \frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2}$

быть последовательными членами арифметической прогрессии?

Для того чтобы три числа $a$, $b$ и $c$ были последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось характеристическое свойство: средний член равен полусумме соседних, то есть $b = \frac{a+c}{2}$, или, что то же самое, $2b = a + c$. Проверим это условие для каждого случая.

1)

Пусть даны числа $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3}$, $c = \sqrt{5}$.

Проверим выполнение равенства $2b = a + c$:

$2\sqrt{3} = \sqrt{2} + \sqrt{5}$

Так как обе части предполагаемого равенства положительны, мы можем возвести их в квадрат. Если равенство верно, то квадраты обеих частей также будут равны.

Квадрат левой части: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Квадрат правой части: $(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 2 + 2\sqrt{10} + 5 = 7 + 2\sqrt{10}$.

Теперь сравним полученные выражения: $12 = 7 + 2\sqrt{10}$.

Вычтем 7 из обеих частей: $5 = 2\sqrt{10}$.

Чтобы проверить это равенство, снова возведем обе части в квадрат:

$5^2 = 25$.

$(2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.

Поскольку $25 \neq 40$, исходное равенство $2\sqrt{3} = \sqrt{2} + \sqrt{5}$ неверно. Следовательно, данные числа не могут быть последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: не могут.

2)

Пусть даны числа $a = \sqrt{5}-\sqrt{2}$, $b = 1$, $c = \frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2}$.

Проверим выполнение равенства $2b = a+c$. Другой способ проверки — убедиться, что разность между соседними членами одинакова, то есть $b-a = c-b$.

Найдем разность $d_1 = b - a$:

$d_1 = 1 - (\sqrt{5}-\sqrt{2}) = 1 - \sqrt{5} + \sqrt{2}$.

Найдем разность $d_2 = c - b$:

$d_2 = \frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2} - 1 = \frac{1+4\sqrt{2} - 1 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2)}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2} = \frac{1+4\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{2}-2}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2}$.

Теперь проверим, верно ли равенство $d_1 = d_2$:

$1 - \sqrt{5} + \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2}$

Чтобы проверить это, умножим обе части на знаменатель $\sqrt{5}+\sqrt{2}+2$:

$(1 - \sqrt{5} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2) = 3\sqrt{2}-\sqrt{5}-1$

Раскроем скобки в левой части:

$1 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2) - \sqrt{5} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2) + \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2)$

$= (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2) - ((\sqrt{5})^2 + \sqrt{5}\sqrt{2} + 2\sqrt{5}) + (\sqrt{2}\sqrt{5} + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2})$

$= \sqrt{5}+\sqrt{2}+2 - 5 - \sqrt{10} - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} + 2 + 2\sqrt{2}$

Приведем подобные слагаемые:

$(\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (-\sqrt{10} + \sqrt{10}) + (2 - 5 + 2)$

$= -\sqrt{5} + 3\sqrt{2} - 1$

Полученное выражение $3\sqrt{2}-\sqrt{5}-1$ в точности совпадает с правой частью проверяемого равенства. Таким образом, равенство $d_1=d_2$ верно.

Следовательно, данные числа могут быть последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: могут.

3.53. Может ли арифметическая прогрессия, все члены которой являются точными квадратами натуральных чисел, иметь 2004 члена?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая для разности арифметической прогрессии $d$.

Случай 1: Разность прогрессии $d=0$

Если разность прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии одинаковы. Если выбрать в качестве первого члена любой точный квадрат натурального числа, например $a_1 = k^2$ для некоторого натурального $k$, то все 2004 члена прогрессии будут равны $k^2$. Такая последовательность (например, $9, 9, 9, \ldots, 9$) является арифметической прогрессией, все члены которой — точные квадраты натуральных чисел. В этом случае ответ на вопрос — да.

Случай 2: Разность прогрессии $d \ne 0$

В этом случае все члены прогрессии должны быть различны. Так как члены прогрессии являются квадратами натуральных чисел, они не могут быть отрицательными, поэтому разность $d$ должна быть положительным целым числом. Мы докажем более сильное утверждение: не существует арифметической прогрессии, состоящей даже из четырех различных точных квадратов. Из этого будет следовать, что прогрессии из 2004 различных квадратов также не существует.

Этот знаменитый результат был доказан Пьером Ферма. Приведем его доказательство.

Предположим, что четыре различных точных квадрата $x^2, y^2, z^2, w^2$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d > 0$.

Это означает, что $y^2 - x^2 = z^2 - y^2 = w^2 - z^2 = d$.

Из этих равенств можно получить два уравнения:

$x^2 + z^2 = 2y^2$

$y^2 + w^2 = 2z^2$

Ферма показал, что существование такой четверки квадратов эквивалентно существованию прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, площадь которого является точным квадратом. Далее он доказал, что такого треугольника не существует, используя метод бесконечного спуска.

Шаг 1. Доказательство того, что площадь прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами не может быть точным квадратом.

Пусть стороны примитивного прямоугольного треугольника (длины сторон взаимно просты) равны $A, B, C$. Их можно представить по формулам Евклида: $A = m^2 - n^2$, $B = 2mn$, $C = m^2 + n^2$, где $m, n$ — взаимно простые натуральные числа разной четности и $m>n$.

Площадь такого треугольника: $S = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(m^2-n^2)(2mn) = mn(m-n)(m+n)$.

Предположим, что площадь $S$ является точным квадратом, то есть $S=k^2$ для некоторого целого $k$.

Множители $m, n, m-n, m+n$ являются попарно взаимно простыми. Так как их произведение $mn(m-n)(m+n)$ является точным квадратом, то каждый из этих множителей также должен быть точным квадратом.

Пусть $m = p^2, n = q^2, m-n = r^2, m+n = s^2$ для некоторых натуральных $p,q,r,s$.

Из этих равенств получаем $p^2 - q^2 = r^2$ и $p^2 + q^2 = s^2$.

Рассмотрим второе равенство: $p^4 + q^4 = s^2$. Докажем, что это уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Предположим, что решение $(p, q, s)$ существует. Выберем решение с наименьшим возможным значением $s$. Можно считать $p$ и $q$ взаимно простыми. Тогда $(p^2, q^2, s)$ является примитивной пифагоровой тройкой.

По определению примитивной пифагоровой тройки, существуют взаимно простые натуральные числа $u$ и $v$ разной четности, такие что:

$p^2 = u^2 - v^2$

$q^2 = 2uv$

$s = u^2 + v^2$

Из первого уравнения, $p^2 + v^2 = u^2$, следует, что $(p, v, u)$ — это еще одна примитивная пифагорова тройка. Значит, существуют взаимно простые натуральные числа $a$ и $b$ разной четности, для которых:

$p = a^2 - b^2$

$v = 2ab$

$u = a^2 + b^2$

Подставим выражения для $u$ и $v$ в уравнение $q^2 = 2uv$:

$q^2 = 2(a^2+b^2)(2ab) = 4ab(a^2+b^2)$

Отсюда $(\frac{q}{2})^2 = ab(a^2+b^2)$.

Множители в правой части ($a, b, a^2+b^2$) являются попарно взаимно простыми. Поскольку их произведение — точный квадрат, каждый из них также должен быть точным квадратом.

$a=g^2, \quad b=h^2, \quad a^2+b^2=k^2$ для некоторых натуральных $g,h,k$.

Подставляя $a=g^2$ и $b=h^2$ в третье уравнение, получаем:

$(g^2)^2 + (h^2)^2 = k^2 \implies g^4+h^4=k^2$.

Мы получили новое решение $(g,h,k)$ для уравнения $X^4+Y^4=Z^2$. Это решение "меньше" исходного решения $(p,q,s)$, так как:

$k < k^2 = a^2+b^2 = u < u^2+v^2=s$, следовательно $k < s$.

Таким образом, для любого решения можно найти решение с меньшим натуральным числом $s$. Это создает бесконечную последовательность убывающих натуральных чисел ($s > k > \ldots$), что невозможно. Следовательно, наше предположение о существовании решения было неверным, и уравнение $p^4+q^4=s^2$ не имеет решений в натуральных числах.

Шаг 2. Заключение.

Противоречие, полученное на Шаге 1, доказывает, что не существует четырех различных точных квадратов, образующих арифметическую прогрессию. Следовательно, не может существовать и прогрессия из 2004 различных квадратов.

Ответ: Да, может. Такая прогрессия существует, если ее разность равна нулю. Например, последовательность $k^2, k^2, \ldots, k^2$ (2004 члена) для любого натурального $k$ является арифметической прогрессией, все члены которой — точные квадраты. Однако если потребовать, чтобы все члены прогрессии были различны, то такая прогрессия невозможна. Согласно теореме Ферма, не существует даже четырех различных чисел, квадраты которых образуют арифметическую прогрессию.

3.54. Докажите тождества:

1)

$\frac{ac+bx+ax+bc}{ay+2bx+2ax+by} = \frac{x+c}{2x+y}$

2)

$\frac{x-xy+z-zy}{1-3y+3y^2-y^3} = \frac{x+z}{(1-y)^2}$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители методом группировки.
Числитель: $ac + bx + ax + bc = (ac + ax) + (bc + bx) = a(c+x) + b(c+x) = (a+b)(x+c)$.
Знаменатель: $ay + 2bx + 2ax + by = (ay + by) + (2ax + 2bx) = y(a+b) + 2x(a+b) = (a+b)(y+2x)$.
Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в левую часть исходного равенства:
$\frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by} = \frac{(a+b)(x+c)}{(a+b)(y+2x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии что $a+b \neq 0$:
$\frac{(a+b)(x+c)}{(a+b)(y+2x)} = \frac{x+c}{y+2x} = \frac{x+c}{2x+y}$.
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
Сначала разложим числитель на множители методом группировки:
$x - xy + z - zy = x(1-y) + z(1-y) = (x+z)(1-y)$.
Знаменатель $1 - 3y + 3y^2 - y^3$ является формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В нашем случае $a=1$ и $b=y$, поэтому $1 - 3y + 3y^2 - y^3 = (1-y)^3$.
Теперь подставим полученные выражения в левую часть тождества:
$\frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3} = \frac{(x+z)(1-y)}{(1-y)^3}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1-y)$, при условии что $y \neq 1$:
$\frac{(x+z)(1-y)}{(1-y)^3} = \frac{x+z}{(1-y)^2}$.
Таким образом, левая часть тождества после преобразований стала равна правой части.
Ответ: Тождество доказано.

3.55. Решите уравнения:

1) $x^4-17x^2+16=0;$

2) $3x^4+x^2-4=0.$

1) $x^4-17x^2+16=0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2-17y+16=0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Оба найденных значения для $y$ ($y_1=1$ и $y_2=16$) удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней $y$:

1. Если $y = 1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. Если $y = 16$, то $x^2 = 16$. Отсюда $x = \pm\sqrt{16}$, то есть $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\{-4; -1; 1; 4\}$.

2) $3x^4+x^2-4=0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$, с условием $y \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное уравнение относительно $y$:

$3y^2+y-4=0$

Решим это уравнение, найдя его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, так как он отрицателен. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $y_2 = 1$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Выполним обратную замену для допустимого значения $y$:

Если $y = 1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $\{-1; 1\}$.