Номер 3.121, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.121. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 56, а сумма квадратов ее членов равна 448. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, для такой прогрессии должно выполняться неравенство $|q| < 1$.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1 - q}$Согласно условию задачи, сумма прогрессии равна 56, следовательно, мы можем составить первое уравнение:$\frac{b_1}{1 - q} = 56$

Далее рассмотрим последовательность, которая состоит из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2$, $(b_1q)^2$, $(b_1q^2)^2$, ... , что можно записать как $b_1^2$, $b_1^2q^2$, $b_1^2q^4$, ... . Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Её первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Поскольку $|q| < 1$, то и $0 \le q^2 < 1$, значит, эта новая прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма $S_{кв}$ этой новой прогрессии вычисляется по аналогичной формуле:$S_{кв} = \frac{b_1^2}{1 - q^2}$По условию, сумма квадратов членов равна 448, что дает нам второе уравнение:$\frac{b_1^2}{1 - q^2} = 448$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} \frac{b_1}{1 - q} = 56 \\ \frac{b_1^2}{1 - q^2} = 448 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$:$b_1 = 56(1 - q)$

Подставим это выражение для $b_1$ во второе уравнение системы. Также воспользуемся формулой разности квадратов для знаменателя: $1 - q^2 = (1 - q)(1 + q)$.$\frac{(56(1 - q))^2}{(1 - q)(1 + q)} = 448$

Упростим полученное выражение:$\frac{56^2 (1 - q)^2}{(1 - q)(1 + q)} = 448$

Так как $|q| < 1$, то $1 - q \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(1 - q)$:$\frac{3136 (1 - q)}{1 + q} = 448$

Теперь найдем отношение $\frac{1 - q}{1 + q}$:$\frac{1 - q}{1 + q} = \frac{448}{3136}$

Сократим дробь $\frac{448}{3136}$. Учитывая, что $3136 = 56^2$ и $448 = 8 \times 56$:$\frac{448}{3136} = \frac{8 \times 56}{56 \times 56} = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$

Получаем уравнение относительно $q$:$\frac{1 - q}{1 + q} = \frac{1}{7}$

Решим это уравнение, используя свойство пропорции:$7(1 - q) = 1(1 + q)$$7 - 7q = 1 + q$$7 - 1 = 7q + q$$6 = 8q$$q = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Значение знаменателя $q = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$. Теперь, зная знаменатель, найдем первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения:$b_1 = 56(1 - q) = 56 \left(1 - \frac{3}{4}\right) = 56 \cdot \frac{1}{4} = 14$

Таким образом, мы нашли искомые параметры прогрессии.Ответ: первый член равен 14, знаменатель равен $\frac{3}{4}$.