Страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.140. Числа $x_1, x_2$ являются корнями уравнения $x^2+ax+4=0$, а числа $x_3, x_4$ – корнями уравнения $x^2+bx+16=0$. Числа $x_1, x_3, x_2, x_4$ в указанном порядке являются членами геометрической прогрессии. Найдите числа $a$ и $b$.

По условию, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2+ax+4=0$. По теореме Виета для этого уравнения имеем:

$x_1 + x_2 = -a$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Числа $x_3$ и $x_4$ являются корнями квадратного уравнения $x^2+bx+16=0$. По теореме Виета для этого уравнения имеем:

$x_3 + x_4 = -b$

$x_3 \cdot x_4 = 16$

Также дано, что числа $x_1, x_3, x_2, x_4$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Пусть первый член этой прогрессии равен $c$, а ее знаменатель равен $q$. Тогда члены прогрессии можно записать как:

$x_1 = c$

$x_3 = c \cdot q$

$x_2 = c \cdot q^2$

$x_4 = c \cdot q^3$

Теперь воспользуемся соотношениями из теоремы Виета, подставив в них выражения для корней через $c$ и $q$.

Из произведения корней первого уравнения:

$x_1 \cdot x_2 = c \cdot (cq^2) = c^2q^2 = (cq)^2 = 4$

Так как $x_3 = cq$, то получаем $x_3^2 = 4$, откуда следует, что $x_3 = 2$ или $x_3 = -2$.

Из произведения корней второго уравнения:

$x_3 \cdot x_4 = (cq) \cdot (cq^3) = c^2q^4 = (cq^2)^2 = 16$

Так как $x_2 = cq^2$, то получаем $x_2^2 = 16$, откуда следует, что $x_2 = 4$ или $x_2 = -4$.

Таким образом, у нас есть четыре возможных комбинации для значений $x_2$ и $x_3$. Рассмотрим каждую из них. Знаменатель прогрессии $q$ можно найти как отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{x_2}{x_3}$.

Случай 1: $x_2 = 4$ и $x_3 = 2$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x_2}{x_3} = \frac{4}{2} = 2$.
Найдем остальные члены прогрессии:
$x_1 = \frac{x_3}{q} = \frac{2}{2} = 1$
$x_4 = x_2 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8$
Прогрессия имеет вид: $1, 2, 4, 8$.
Теперь найдем коэффициенты $a$ и $b$ из сумм корней:
$a = -(x_1 + x_2) = -(1 + 4) = -5$
$b = -(x_3 + x_4) = -(2 + 8) = -10$
Первая пара решений: $(a, b) = (-5, -10)$.

Случай 2: $x_2 = -4$ и $x_3 = 2$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x_2}{x_3} = \frac{-4}{2} = -2$.
Найдем остальные члены прогрессии:
$x_1 = \frac{x_3}{q} = \frac{2}{-2} = -1$
$x_4 = x_2 \cdot q = (-4) \cdot (-2) = 8$
Прогрессия имеет вид: $-1, 2, -4, 8$.
Теперь найдем коэффициенты $a$ и $b$:
$a = -(x_1 + x_2) = -(-1 - 4) = 5$
$b = -(x_3 + x_4) = -(2 + 8) = -10$
Вторая пара решений: $(a, b) = (5, -10)$.

Случай 3: $x_2 = 4$ и $x_3 = -2$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x_2}{x_3} = \frac{4}{-2} = -2$.
Найдем остальные члены прогрессии:
$x_1 = \frac{x_3}{q} = \frac{-2}{-2} = 1$
$x_4 = x_2 \cdot q = 4 \cdot (-2) = -8$
Прогрессия имеет вид: $1, -2, 4, -8$.
Теперь найдем коэффициенты $a$ и $b$:
$a = -(x_1 + x_2) = -(1 + 4) = -5$
$b = -(x_3 + x_4) = -(-2 - 8) = 10$
Третья пара решений: $(a, b) = (-5, 10)$.

Случай 4: $x_2 = -4$ и $x_3 = -2$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x_2}{x_3} = \frac{-4}{-2} = 2$.
Найдем остальные члены прогрессии:
$x_1 = \frac{x_3}{q} = \frac{-2}{2} = -1$
$x_4 = x_2 \cdot q = (-4) \cdot 2 = -8$
Прогрессия имеет вид: $-1, -2, -4, -8$.
Теперь найдем коэффициенты $a$ и $b$:
$a = -(x_1 + x_2) = -(-1 - 4) = 5$
$b = -(x_3 + x_4) = -(-2 - 8) = 10$
Четвертая пара решений: $(a, b) = (5, 10)$.

Все четыре пары значений являются решениями. Для всех найденных $a$ и $b$ дискриминанты соответствующих уравнений ($D_a = a^2 - 16$ и $D_b = b^2 - 64$) неотрицательны, что подтверждает существование действительных корней.

Ответ: $a = -5, b = -10$; или $a = 5, b = -10$; или $a = -5, b = 10$; или $a = 5, b = 10$.

3.141. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составить:

1) арифметическую прогрессию?

2) геометрическую прогрессию?

1) арифметическую прогрессию?

Пусть стороны прямоугольного треугольника $a, b, c$ образуют арифметическую прогрессию. Обозначим стороны как $x-d, x, x+d$, где $x$ - средний член прогрессии, а $d$ - ее разность. Так как длины сторон должны быть положительными, то $x-d > 0$, следовательно, $x > d$. Также, чтобы стороны были различны, $d \neq 0$. Будем считать $d > 0$, тогда прогрессия возрастающая. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, поэтому гипотенуза $c = x+d$, а катеты $a = x-d$ и $b = x$.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$
Подставим наши выражения для сторон: $(x-d)^2 + x^2 = (x+d)^2$
Раскроем скобки: $x^2 - 2xd + d^2 + x^2 = x^2 + 2xd + d^2$
Упростим уравнение, сократив одинаковые члены с обеих сторон ($x^2$ и $d^2$): $x^2 - 2xd = 2xd$
Перенесем члены с $xd$ в одну сторону: $x^2 = 4xd$
Поскольку $x$ - это длина стороны, $x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x$: $x = 4d$
Мы нашли соотношение между средним членом и разностью прогрессии. Это соотношение удовлетворяет условию $x > d$ (так как $4d > d$ при $d > 0$). Теперь найдем длины сторон, выраженные через $d$:
Катет $a = x-d = 4d-d = 3d$
Катет $b = x = 4d$
Гипотенуза $c = x+d = 4d+d = 5d$
Таким образом, стороны прямоугольного треугольника могут образовывать арифметическую прогрессию. Их длины будут относиться как $3:4:5$. Например, при $d=1$ мы получаем известный египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5.
Ответ: да, могут.

2) геометрическую прогрессию?

Пусть стороны прямоугольного треугольника $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию. Обозначим стороны как $b_1, b_1q, b_1q^2$, где $b_1$ - первый член прогрессии, а $q$ - ее знаменатель. Длины сторон должны быть положительными, поэтому $b_1 > 0$. Чтобы стороны были различны, $q > 0$ и $q \neq 1$.
Рассмотрим случай, когда прогрессия возрастающая, то есть $q > 1$. Тогда гипотенуза будет самой длинной стороной $c = b_1q^2$, а катеты - $a = b_1$ и $b = b_1q$.
Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$: $(b_1)^2 + (b_1q)^2 = (b_1q^2)^2$
Раскроем скобки: $b_1^2 + b_1^2q^2 = b_1^2q^4$
Так как $b_1 > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1^2$: $1 + q^2 = q^4$
Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно $q^2$: $(q^2)^2 - q^2 - 1 = 0$
Сделаем замену $y = q^2$. Уравнение примет вид: $y^2 - y - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней: $y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Поскольку $y = q^2$, значение $y$ должно быть положительным. Корень $y_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ является отрицательным, поэтому он нам не подходит. Остается единственный возможный корень: $y = q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
Это число известно как золотое сечение и обозначается буквой $\phi$ (фи). Так как $\phi > 0$, мы можем найти положительное значение для $q$: $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\phi}$
Поскольку $\phi \approx 1.618 > 1$, то и $q > 1$, что соответствует нашему предположению. Таким образом, существует такое значение знаменателя прогрессии $q$, при котором ее члены могут быть сторонами прямоугольного треугольника.
Необходимо также проверить выполнение неравенства треугольника: сумма длин двух меньших сторон должна быть больше длины третьей стороны: $b_1 + b_1q > b_1q^2$
Разделив на $b_1 > 0$, получаем: $1 + q > q^2$. Мы нашли, что $q^2 = \phi \approx 1.618$, а $q = \sqrt{\phi} \approx 1.272$. Проверим неравенство: $1 + 1.272 > 1.618$, что равносильно $2.272 > 1.618$. Неравенство выполняется.
Следовательно, стороны прямоугольного треугольника могут образовывать геометрическую прогрессию.
Ответ: да, могут.

3.142. Вычислите значение выражения $\frac{0,1(2) + 0,3(4)}{0,4(5) - 0,2(3)}$.

Для вычисления значения выражения необходимо сперва преобразовать все периодические десятичные дроби в обыкновенные.

1. Преобразование периодических дробей в обыкновенные

Для преобразования смешанной периодической дроби в обыкновенную используется следующий метод. Рассмотрим каждую дробь из выражения:

а) $0,1(2)$. Пусть $x = 0,1(2) = 0,1222...$. Умножим обе части на 10, чтобы неповторяющаяся часть оказалась слева от запятой: $10x = 1,222...$. Затем умножим на 100, чтобы сдвинуть один период влево от запятой: $100x = 12,222...$. Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 12,222... - 1,222...$
$90x = 11$
$x = \frac{11}{90}$.

б) $0,3(4)$. Пусть $y = 0,3(4) = 0,3444...$. Тогда $10y = 3,444...$ и $100y = 34,444...$. Вычитая, получаем:
$100y - 10y = 34,444... - 3,444...$
$90y = 31$
$y = \frac{31}{90}$.

в) $0,4(5)$. Пусть $z = 0,4(5) = 0,4555...$. Тогда $10z = 4,555...$ и $100z = 45,555...$. Вычитая, получаем:
$100z - 10z = 45,555... - 4,555...$
$90z = 41$
$z = \frac{41}{90}$.

г) $0,2(3)$. Пусть $w = 0,2(3) = 0,2333...$. Тогда $10w = 2,333...$ и $100w = 23,333...$. Вычитая, получаем:
$100w - 10w = 23,333... - 2,333...$
$90w = 21$
$w = \frac{21}{90}$.

2. Вычисление значения выражения

Подставим полученные обыкновенные дроби в исходное выражение:

$\frac{0,1(2) + 0,3(4)}{0,4(5) - 0,2(3)} = \frac{\frac{11}{90} + \frac{31}{90}}{\frac{41}{90} - \frac{21}{90}}$

Выполним действия в числителе и знаменателе дроби.

Числитель: $\frac{11}{90} + \frac{31}{90} = \frac{11 + 31}{90} = \frac{42}{90}$.

Знаменатель: $\frac{41}{90} - \frac{21}{90} = \frac{41 - 21}{90} = \frac{20}{90}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{42}{90}}{\frac{20}{90}} = \frac{42}{90} \cdot \frac{90}{20} = \frac{42}{20}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2, и представим результат в виде десятичной дроби:

$\frac{42}{20} = \frac{21}{10} = 2,1$

Ответ: $2,1$.

3.143. Если $a$ – первый член, $q$ – знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии $\{a_n\}$, то найдите сумму:

1) $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots;$

2) $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 + \dots;$

3) $(a_1+a_2)^2+(a_3+a_4)^2+(a_5+a_6)^2+\dots;$

4) $(a_1-a_2)^2+(a_3-a_4)^2+(a_5-a_6)^2+\dots;$

5) $a_1+\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{4}a_3+\dots;$

6) $\left(a_1-\frac{1}{2}\right)+\left(a_2-\frac{1}{4}\right)+\dots;$

7) $\frac{a_2}{a_1}+\frac{a_4}{a_2}+\frac{a_6}{a_3}+\dots;$

8) $(a_1+a_2+a_3)^2+(a_4+a_5+a_6)^2+\dots.$

Дано, что $\{a_n\}$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = a$ и знаменателем $q$, где $|q| < 1$. Общий член прогрессии равен $a_n = a \cdot q^{n-1}$. Сумма этой прогрессии равна $S = \frac{a}{1-q}$.

Члены данного ряда $a_1^2, a_2^2, a_3^2, \ldots$ образуют новую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.Первый член этой прогрессии $b_1 = a_1^2 = a^2$.Знаменатель этой прогрессии $Q = \frac{a_2^2}{a_1^2} = \frac{(aq)^2}{a^2} = \frac{a^2q^2}{a^2} = q^2$.Так как исходная прогрессия является бесконечно убывающей, то $|q|<1$, следовательно, $|Q| = |q^2| < 1$.Сумма этой новой прогрессии находится по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-Q}$.$S_1 = \frac{a^2}{1-q^2}$.
Ответ: $\frac{a^2}{1-q^2}$.

Аналогично предыдущему пункту, члены этого ряда $a_1^3, a_2^3, a_3^3, \ldots$ также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.Первый член этой прогрессии $b_1 = a_1^3 = a^3$.Знаменатель этой прогрессии $Q = \frac{a_2^3}{a_1^3} = \frac{(aq)^3}{a^3} = \frac{a^3q^3}{a^3} = q^3$.Так как $|q|<1$, то $|Q| = |q^3| < 1$.Сумма этой прогрессии:$S_2 = \frac{a^3}{1-q^3}$.
Ответ: $\frac{a^3}{1-q^3}$.

Рассмотрим члены данного ряда.Первый член: $b_1 = (a_1+a_2)^2 = (a+aq)^2 = (a(1+q))^2 = a^2(1+q)^2$.Второй член: $b_2 = (a_3+a_4)^2 = (aq^2+aq^3)^2 = (aq^2(1+q))^2 = a^2q^4(1+q)^2$.Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = a^2(1+q)^2$ и знаменателем $Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a^2q^4(1+q)^2}{a^2(1+q)^2} = q^4$.Так как $|q|<1$, то $|Q| = |q^4| < 1$.Сумма ряда:$S_3 = \frac{a^2(1+q)^2}{1-q^4} = \frac{a^2(1+q)^2}{(1-q^2)(1+q^2)} = \frac{a^2(1+q)^2}{(1-q)(1+q)(1+q^2)} = \frac{a^2(1+q)}{(1-q)(1+q^2)}$.
Ответ: $\frac{a^2(1+q)}{(1-q)(1+q^2)}$.

Рассмотрим члены данного ряда.Первый член: $b_1 = (a_1-a_2)^2 = (a-aq)^2 = (a(1-q))^2 = a^2(1-q)^2$.Второй член: $b_2 = (a_3-a_4)^2 = (aq^2-aq^3)^2 = (aq^2(1-q))^2 = a^2q^4(1-q)^2$.Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = a^2(1-q)^2$ и знаменателем $Q = \frac{b_2}{b_1} = q^4$.Так как $|q|<1$, то $|Q| = |q^4| < 1$.Сумма ряда:$S_4 = \frac{a^2(1-q)^2}{1-q^4} = \frac{a^2(1-q)^2}{(1-q^2)(1+q^2)} = \frac{a^2(1-q)^2}{(1-q)(1+q)(1+q^2)} = \frac{a^2(1-q)}{(1+q)(1+q^2)}$.
Ответ: $\frac{a^2(1-q)}{(1+q)(1+q^2)}$.

Общий член данного ряда имеет вид $b_n = \frac{1}{2^{n-1}}a_n = \frac{1}{2^{n-1}}(aq^{n-1}) = a\left(\frac{q}{2}\right)^{n-1}$.Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = a$ и знаменателем $Q = \frac{q}{2}$.Так как $|q|<1$, то $|Q| = \left|\frac{q}{2}\right| = \frac{|q|}{2} < \frac{1}{2} < 1$.Сумма ряда:$S_5 = \frac{a}{1-q/2} = \frac{a}{(2-q)/2} = \frac{2a}{2-q}$.
Ответ: $\frac{2a}{2-q}$.

Предполагая, что общий член ряда $b_n = a_n - \frac{1}{2^n}$, сумму ряда можно представить как разность двух сумм:$S_6 = \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n - \frac{1}{2^n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$.Первая сумма - это сумма исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a}{1-q}$.Вторая сумма - это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $c_1 = \frac{1}{2}$ и знаменателем $Q = \frac{1}{2}$. Ее сумма равна $\frac{1/2}{1-1/2} = 1$.Таким образом, искомая сумма:$S_6 = \frac{a}{1-q} - 1 = \frac{a - (1-q)}{1-q} = \frac{a+q-1}{1-q}$.
Ответ: $\frac{a+q-1}{1-q}$.

Найдем члены этого ряда:Первый член: $b_1 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{aq}{a} = q$.Второй член: $b_2 = \frac{a_4}{a_2} = \frac{aq^3}{aq} = q^2$.Третий член: $b_3 = \frac{a_6}{a_3} = \frac{aq^5}{aq^2} = q^3$.Общий член ряда $b_n = \frac{a_{2n}}{a_n} = \frac{aq^{2n-1}}{aq^{n-1}} = q^n$.Ряд представляет собой сумму $q+q^2+q^3+\ldots$. Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = q$ и знаменателем $Q = q$.Сумма ряда:$S_7 = \frac{q}{1-q}$.
Ответ: $\frac{q}{1-q}$.

Рассмотрим члены данного ряда.Первый член: $b_1 = (a_1+a_2+a_3)^2 = (a+aq+aq^2)^2 = (a(1+q+q^2))^2 = a^2(1+q+q^2)^2$.Второй член: $b_2 = (a_4+a_5+a_6)^2 = (aq^3+aq^4+aq^5)^2 = (aq^3(1+q+q^2))^2 = a^2q^6(1+q+q^2)^2$.Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = a^2(1+q+q^2)^2$ и знаменателем $Q = \frac{b_2}{b_1} = q^6$.Так как $|q|<1$, то $|Q| = |q^6| < 1$.Сумма ряда:$S_8 = \frac{a^2(1+q+q^2)^2}{1-q^6}$.Используя формулу суммы первых трех членов геометрической прогрессии $1+q+q^2 = \frac{1-q^3}{1-q}$ и формулу разности $1-q^6 = (1-q^3)(1+q^3)$, упростим выражение:$S_8 = \frac{a^2\left(\frac{1-q^3}{1-q}\right)^2}{(1-q^3)(1+q^3)} = \frac{a^2(1-q^3)^2}{(1-q)^2(1-q^3)(1+q^3)} = \frac{a^2(1-q^3)}{(1-q)^2(1+q^3)}$.
Ответ: $\frac{a^2(1-q^3)}{(1-q)^2(1+q^3)}$.

3.144. Решите уравнения:

1) $1+x+x^2+\dots+x^9=0;$

2) $1+x+x^2+\dots+x^{10}=0.$

1) $1+x+x^2+...+x^9=0$

Левая часть уравнения представляет собой сумму первых десяти членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=1$ и знаменателем $q=x$.

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подставив $x=1$ в левую часть, получим $1+1+1^2+...+1^9 = 10$. Так как $10 \neq 0$, $x=1$ не является корнем уравнения.

Следовательно, можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$. В нашем случае число членов $n=10$, первый член $b_1=1$, знаменатель прогрессии $q=x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1 \cdot (x^{10}-1)}{x-1} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}x^{10}-1 = 0 \\x-1 \neq 0\end{cases}$

Решениями уравнения $x^{10}=1$ являются корни 10-й степени из единицы. В тригонометрической форме они задаются формулой:

$x_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{10}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{10}\right) = \cos\left(\frac{\pi k}{5}\right) + i \sin\left(\frac{\pi k}{5}\right)$ для $k = 0, 1, 2, ..., 9$.

Условие $x-1 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$. Корень $x=1$ получается при $k=0$ ($x_0 = \cos(0) + i \sin(0) = 1$). Следовательно, мы должны исключить этот корень.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются все корни 10-й степени из единицы, кроме 1. Один из корней, $x=-1$ (при $k=5$), является действительным.

Ответ: $x_k = \cos(\frac{\pi k}{5}) + i \sin(\frac{\pi k}{5})$ для $k = 1, 2, ..., 9$.

2) $1+x+x^2+...+x^{10}=0$

Левая часть этого уравнения — это сумма первых одиннадцати членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=1$ и знаменателем $q=x$.

Проверим, является ли $x=1$ корнем. При $x=1$ левая часть равна $1+1+...+1$ (11 слагаемых), что равно 11. Так как $11 \neq 0$, $x=1$ не является корнем.

Используя формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ с $n=11$, $b_1=1$, $q=x$, получаем:

$\frac{x^{11}-1}{x-1} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}x^{11}-1 = 0 \\x-1 \neq 0\end{cases}$

Решениями уравнения $x^{11}=1$ являются корни 11-й степени из единицы. Они задаются формулой:

$x_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{11}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{11}\right)$ для $k = 0, 1, 2, ..., 10$.

Условие $x \neq 1$ исключает корень, соответствующий $k=0$.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются все корни 11-й степени из единицы, кроме 1. В данном случае все корни, кроме исключенного $x=1$, являются комплексными.

Ответ: $x_k = \cos(\frac{2\pi k}{11}) + i \sin(\frac{2\pi k}{11})$ для $k = 1, 2, ..., 10$.

3.145. Найдите сумму:

1) $(c + \frac{1}{c})^2 + (c^2 + \frac{1}{c^2})^2 + \dots + (c^n + \frac{1}{c^n})^2;$

2) $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n!;$

3) $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!}.$

1)

Обозначим искомую сумму через $S$. Общий член суммы имеет вид $\left(c^k + \frac{1}{c^k}\right)^2$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$.

Раскроем скобки в общем члене, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\left(c^k + \frac{1}{c^k}\right)^2 = (c^k)^2 + 2 \cdot c^k \cdot \frac{1}{c^k} + \left(\frac{1}{c^k}\right)^2 = c^{2k} + 2 + \frac{1}{c^{2k}}$

Тогда вся сумма может быть записана как:

$S = \sum_{k=1}^{n} \left(c^{2k} + 2 + \frac{1}{c^{2k}}\right)$

Разделим сумму на три части:

$S = \sum_{k=1}^{n} c^{2k} + \sum_{k=1}^{n} 2 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{c^{2k}}$

Первая сумма, $\sum_{k=1}^{n} 2$, равна $2n$.

Вторая сумма, $\sum_{k=1}^{n} c^{2k} = c^2 + c^4 + \dots + c^{2n}$, является суммой $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $a_1 = c^2$ и знаменателем $q = c^2$.

Третья сумма, $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{c^{2k}} = \frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^4} + \dots + \frac{1}{c^{2n}}$, является суммой $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{c^2}$ и знаменателем $r = \frac{1}{c^2}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $c^2 = 1$ (то есть $c = 1$ или $c = -1$).

В этом случае $c^{2k} = (c^2)^k = 1^k = 1$ и $\frac{1}{c^{2k}} = 1$.

Тогда общий член суммы равен $1 + 2 + 1 = 4$.

Искомая сумма равна $S = \sum_{k=1}^{n} 4 = 4n$.

Случай 2: $c^2 \neq 1$.

Используем формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Для первой прогрессии: $\sum_{k=1}^{n} c^{2k} = c^2 \frac{(c^2)^n - 1}{c^2 - 1} = \frac{c^2(c^{2n} - 1)}{c^2 - 1}$.

Для второй прогрессии: $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{c^{2k}} = \frac{1}{c^2} \frac{(\frac{1}{c^2})^n - 1}{\frac{1}{c^2} - 1} = \frac{1}{c^2} \frac{\frac{1-c^{2n}}{c^{2n}}}{\frac{1-c^2}{c^2}} = \frac{1-c^{2n}}{c^{2n}(1-c^2)} = \frac{c^{2n}-1}{c^{2n}(c^2-1)}$.

Собираем все части вместе:

$S = \frac{c^2(c^{2n} - 1)}{c^2 - 1} + 2n + \frac{c^{2n}-1}{c^{2n}(c^2-1)}$.

Ответ: Если $c = \pm 1$, то сумма равна $4n$. Если $c \neq \pm 1$, то сумма равна $\frac{c^2(c^{2n} - 1)}{c^2 - 1} + \frac{c^{2n}-1}{c^{2n}(c^2-1)} + 2n$.

2)

Обозначим искомую сумму $S = 1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+n \cdot n! = \sum_{k=1}^{n} k \cdot k!$.

Рассмотрим общий член суммы $a_k = k \cdot k!$. Преобразуем его, представив $k$ как $(k+1)-1$:

$k \cdot k! = ((k+1)-1) \cdot k! = (k+1) \cdot k! - k!$

По определению факториала, $(k+1) \cdot k! = (k+1)!$.

Таким образом, общий член суммы равен $a_k = (k+1)! - k!$.

Теперь искомая сумма представляет собой телескопическую сумму:

$S = \sum_{k=1}^{n} ((k+1)! - k!)$

Расписав сумму, получаем:

$S = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + ((n+1)! - n!)$

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$S = -1! + (2! - 2!) + (3! - 3!) + \dots + (n! - n!) + (n+1)! = (n+1)! - 1!$

Так как $1! = 1$, получаем окончательный результат.

Ответ: $(n+1)! - 1$.

3)

Обозначим искомую сумму $S = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}$.

Рассмотрим общий член суммы $a_k = \frac{k}{(k+1)!}$. Преобразуем его, представив числитель $k$ как $(k+1)-1$:

$a_k = \frac{(k+1)-1}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)!}$

Поскольку $(k+1)! = (k+1) \cdot k!$, то $\frac{k+1}{(k+1)!} = \frac{1}{k!}$.

Таким образом, общий член суммы равен $a_k = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}$.

Наша сумма является телескопической:

$S = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}\right)$

Расписав сумму, получаем:

$S = \left(\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}\right) + \left(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}\right) + \left(\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right)$

Промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$S = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(n+1)!}$

Так как $1! = 1$, получаем окончательный результат.

Ответ: $1 - \frac{1}{(n+1)!}$.