Страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

С помощью этой формулы заполните таблицу.

Градусная мера угла 30° 60° 180°

Радианная мера угла $\frac{30}{180} \cdot \pi = \frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{2}$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо переводить градусную меру угла в радианную и наоборот. Будем использовать формулы, основанные на соотношении $180^\circ = \pi$ радиан.

1. Формула для перевода градусов в радианы: $\alpha_{рад} = \frac{\alpha^\circ \cdot \pi}{180^\circ}$.

2. Формула для перевода радиан в градусы: $\alpha^\circ = \frac{\alpha_{рад} \cdot 180^\circ}{\pi}$.

Выполним вычисления для каждой пустой ячейки таблицы.

Перевод $\frac{\pi}{4}$ радиан в градусы

В таблице дана радианная мера $\frac{\pi}{4}$. Найдем соответствующую ей градусную меру, используя вторую формулу:

$\alpha^\circ = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot 180^\circ}{\pi} = \frac{\pi \cdot 180^\circ}{4 \cdot \pi} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Перевод 60° в радианы

В таблице дана градусная мера $60^\circ$. Найдем соответствующую ей радианную меру, используя первую формулу:

$\alpha_{рад} = \frac{60^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Перевод $\frac{\pi}{2}$ радиан в градусы

В таблице дана радианная мера $\frac{\pi}{2}$. Найдем соответствующую ей градусную меру:

$\alpha^\circ = \frac{\frac{\pi}{2} \cdot 180^\circ}{\pi} = \frac{\pi \cdot 180^\circ}{2 \cdot \pi} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Перевод 180° в радианы

В таблице дана градусная мера $180^\circ$. Найдем соответствующую ей радианную меру:

$\alpha_{рад} = \frac{180^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

Перевод $\frac{3\pi}{2}$ радиан в градусы

В таблице дана радианная мера $\frac{3\pi}{2}$. Найдем соответствующую ей градусную меру:

$\alpha^\circ = \frac{\frac{3\pi}{2} \cdot 180^\circ}{\pi} = \frac{3\pi \cdot 180^\circ}{2 \cdot \pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{2} = 3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$.

Ответ: $270^\circ$.

Итоговая заполненная таблица:

На единичной окружности отметьте точки, соответствующие углам с радианной мерой

$0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$.

Для решения этой задачи необходимо отметить на единичной окружности точки, соответствующие заданным углам в радианах. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом, равным 1. Отсчет углов начинается от положительного направления оси абсцисс (точка $(1, 0)$) и ведется против часовой стрелки. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан, что эквивалентно $360^\circ$.

Расположим заданные точки на окружности, определив их положение по четвертям и на осях координат:

Точки на осях координат: Углы $0$ и $2\pi$ радиан соответствуют начальной точке на положительной части оси Ox. Угол $2\pi$ представляет собой полный оборот и совпадает с точкой для угла $0$. Угол $\frac{\pi}{2}$ радиан ($90^\circ$) находится на положительной части оси Oy. Угол $\pi$ радиан ($180^\circ$) находится на отрицательной части оси Ox. Угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан ($270^\circ$) находится на отрицательной части оси Oy.

Точки в первой четверти (углы от $0$ до $\frac{\pi}{2}$): Сюда относятся углы $\frac{\pi}{6}$ ($30^\circ$), $\frac{\pi}{4}$ ($45^\circ$) и $\frac{\pi}{3}$ ($60^\circ$). Они последовательно располагаются между положительными направлениями осей Ox и Oy.

Точки во второй четверти (углы от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$): Здесь находятся точки, соответствующие углам $\frac{2\pi}{3}$ ($120^\circ$), $\frac{3\pi}{4}$ ($135^\circ$) и $\frac{5\pi}{6}$ ($150^\circ$). Эти точки можно найти, двигаясь дальше против часовой стрелки. Они также симметричны точкам $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{6}$ соответственно относительно оси Oy.

Точки в третьей и четвертой четвертях: Из заданного списка в этих четвертях (кроме осей) нет точек.

Ниже представлено изображение единичной окружности со всеми отмеченными точками.

Ответ: