Страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.6. Величина дуги единичной окружности равна $\frac{3\pi}{4}$. Чему равна длина этой дуги?

Для нахождения длины дуги окружности используется формула $L = r \cdot \alpha$, где $L$ — это длина дуги, $r$ — радиус окружности, а $\alpha$ — величина центрального угла, стягивающего эту дугу, выраженная в радианах.

По условию, нам дана единичная окружность. Это означает, что ее радиус равен единице, то есть $r = 1$.

Величина дуги, которая по определению равна соответствующему центральному углу в радианах, составляет $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь подставим значения радиуса и угла в формулу для вычисления длины дуги:

$L = 1 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Таким образом, для единичной окружности длина дуги численно равна ее радианной мере.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

4.7. Угловая мера дуги равна $ \frac{3\pi}{2} $, а радиус равен 8 м. Найдите длину этой дуги.

Для нахождения длины дуги окружности используется формула, связывающая длину дуги $L$, радиус окружности $R$ и угловую меру дуги $\alpha$ в радианах: $L = \alpha \cdot R$.

По условию задачи даны следующие значения:

Угловая мера дуги $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ радиан.

Радиус окружности $R = 8$ м.

Подставим эти значения в формулу:

$L = \frac{3\pi}{2} \cdot 8$

Выполним вычисление:

$L = \frac{3 \cdot \pi \cdot 8}{2} = 3 \cdot \pi \cdot 4 = 12\pi$ м.

Ответ: $12\pi$ м.

4.8. Углы треугольника соотносятся как $3 : 4 : 5$. Найдите градусные и радианные меры углов этого треугольника.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно условию, их величины соотносятся как $3:4:5$. Это означает, что углы можно представить в виде $\alpha = 3x$, $\beta = 4x$ и $\gamma = 5x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Сначала найдем градусные меры углов.

Составим уравнение, используя теорему о сумме углов треугольника:

$3x + 4x + 5x = 180^\circ$

Решим это уравнение относительно $x$:

$12x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ$

Теперь, зная значение коэффициента $x$, мы можем найти величину каждого угла в градусах:

Первый угол: $\alpha = 3x = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ$.

Второй угол: $\beta = 4x = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ$.

Третий угол: $\gamma = 5x = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$.

Теперь переведем полученные градусные меры в радианные. Для этого используем формулу перевода: угол в радианах = (угол в градусах $\cdot \pi) / 180$.

Первый угол в радианах:

$45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

Второй угол в радианах:

$60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан.

Третий угол в радианах:

$75^\circ = 75 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{15 \cdot 5 \pi}{15 \cdot 12} = \frac{5\pi}{12}$ радиан.

Ответ: градусные меры углов треугольника равны $45^\circ$, $60^\circ$ и $75^\circ$; радианные меры углов равны $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{12}$.

4.9. В прямоугольном треугольнике: а) катеты равны между собой; б) один из катетов равен половине гипотенузы. Найдите градусные и радианные меры углов этого треугольника.

а) катеты равны между собой

По условию, мы рассматриваем прямоугольный треугольник. Это означает, что один из его углов по определению равен $90^\circ$.

Также дано, что катеты этого треугольника равны между собой. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам (в данном случае — острые углы при гипотенузе), также равны. Обозначим каждый из этих равных углов как $\alpha$.

Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Поскольку один угол равен $90^\circ$, сумма двух других, острых углов, должна быть равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как оба острых угла равны $\alpha$, мы можем составить уравнение: $\alpha + \alpha = 90^\circ$, что эквивалентно $2\alpha = 90^\circ$.

Решая это уравнение, получаем $\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Следовательно, углы треугольника в градусной мере равны: $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.

Теперь переведем градусные меры в радианные, используя соотношение $180^\circ = \pi$ радиан.
$45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан.
$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Таким образом, углы в радианной мере равны: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ или $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$ радиан.

б) один из катетов равен половине гипотенузы

Мы снова рассматриваем прямоугольный треугольник, где один угол равен $90^\circ$. Пусть катет $a$ и гипотенуза $c$ связаны соотношением $a = \frac{c}{2}$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Пусть угол $\alpha$ — это угол, который лежит напротив катета $a$. Тогда по определению: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$.

Подставим в эту формулу данное нам условие $a = \frac{c}{2}$:
$\sin(\alpha) = \frac{\frac{1}{2}c}{c} = \frac{1}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, равен $30^\circ$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$. (Это также известное свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол, который мы обозначим $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, углы треугольника в градусной мере равны: $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.

Переведем эти значения в радианы:
$30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ радиан.
$60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Следовательно, углы в радианной мере равны: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ или $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ радиан.

4.10. Выразите в радианах углы правильного n-угольника:

1) $n=3$;

2) $n=4$;

3) $n=5$;

4) $n=6$;

5) $n=9$;

6) $n=18$.

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника в радианах используется формула, которая выводится из формулы суммы углов многоугольника. Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна $(n-2)\pi$ радиан. Поскольку в правильном n-угольнике все $n$ углов равны, для нахождения величины одного угла нужно разделить сумму на их количество.

Таким образом, формула для величины одного внутреннего угла правильного n-угольника в радианах:

$\alpha_n = \frac{(n-2)\pi}{n}$

Применим эту формулу для каждого из заданных значений $n$.

1) n=3;
Для правильного треугольника угол равен:
$\alpha_3 = \frac{(3-2)\pi}{3} = \frac{1 \cdot \pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

2) n=4;
Для правильного четырехугольника (квадрата) угол равен:
$\alpha_4 = \frac{(4-2)\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ радиан.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) n=5;
Для правильного пятиугольника угол равен:
$\alpha_5 = \frac{(5-2)\pi}{5} = \frac{3\pi}{5}$ радиан.
Ответ: $\frac{3\pi}{5}$.

4) n=6;
Для правильного шестиугольника угол равен:
$\alpha_6 = \frac{(6-2)\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ радиан.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

5) n=9;
Для правильного девятиугольника угол равен:
$\alpha_9 = \frac{(9-2)\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}$ радиан.
Ответ: $\frac{7\pi}{9}$.

6) n=18;
Для правильного восемнадцатиугольника угол равен:
$\alpha_{18} = \frac{(18-2)\pi}{18} = \frac{16\pi}{18} = \frac{8\pi}{9}$ радиан.
Ответ: $\frac{8\pi}{9}$.

4.11. Укажите наименьшую неотрицательную радианную меру угла, соответствующую точкам пересечения единичной окружности с осями координат. Напишите общий вид радианной меры углов, соответствующих этим точкам.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом, равным 1. Её уравнение в декартовых координатах: $x^2 + y^2 = 1$. Точки пересечения этой окружности с осями координат — это точки, где одна из координат равна нулю.

1. Пересечение с осью Ox (ось абсцисс): при $y = 0$ из уравнения окружности следует $x^2 + 0^2 = 1$, что дает $x = \pm 1$. Получаем две точки пересечения: $A(1, 0)$ и $C(-1, 0)$.

2. Пересечение с осью Oy (ось ординат): при $x = 0$ из уравнения окружности следует $0^2 + y^2 = 1$, что дает $y = \pm 1$. Получаем еще две точки пересечения: $B(0, 1)$ и $D(0, -1)$.

Таким образом, мы имеем четыре точки пересечения единичной окружности с осями координат, которые показаны на рисунке.

Наименьшие неотрицательные радианные меры

Радианная мера угла отсчитывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Для каждой из четырех точек найдем соответствующий наименьший неотрицательный угол:
• Для точки $A(1, 0)$ наименьший неотрицательный угол равен $0$ радиан.
• Для точки $B(0, 1)$ наименьший неотрицательный угол равен $\frac{\pi}{2}$ радиан.
• Для точки $C(-1, 0)$ наименьший неотрицательный угол равен $\pi$ радиан.
• Для точки $D(0, -1)$ наименьший неотрицательный угол равен $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Заданный вопрос "Укажите наименьшую неотрицательную радианную меру угла" можно интерпретировать двояко: либо как поиск наименьшего значения из этого набора (это будет $0$), либо как перечисление всех четырех наименьших неотрицательных мер для каждой из точек. Поскольку вторая часть вопроса касается всех "этих точек", логично в первой части перечислить все четыре соответствующие меры.

Ответ: Наименьшие неотрицательные радианные меры, соответствующие точкам пересечения, равны $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$.

Общий вид радианной меры углов

Все четыре точки расположены на окружности с равным шагом в $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90°). Начальная точка (соответствующая углу 0) — это $A(1,0)$. Все остальные точки можно получить, прибавляя или вычитая из этого угла целое число раз по $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, множество всех углов, соответствующих данным четырем точкам, можно описать одной общей формулой.

Если взять за основу угол $0$ (точка А), то углы для точек B, C, D получаются последовательным прибавлением $\frac{\pi}{2}$. Это формирует арифметическую прогрессию $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \dots$. Общий член этой последовательности, учитывая все возможные обороты (как в положительную, так и в отрицательную сторону), можно записать как $\alpha = k \cdot \frac{\pi}{2}$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Например: при $k=0$ получаем $\alpha = 0$ (точка A); при $k=1$ получаем $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (точка B); при $k=2$ получаем $\alpha = \pi$ (точка C); при $k=3$ получаем $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ (точка D); при $k=4$ получаем $\alpha = 2\pi$ (снова точка A); при $k=-1$ получаем $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ (снова точка D). Формула корректно описывает все углы.

Ответ: $\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4.12. Как расположены на числовой оси и единичной окружности точки, соответствующие числам:

1) $x$ и $-x$;
2) $x$ и $x+\pi$;
3) $x$ и $x+2n\pi$;
4) $x-\pi$ и $x+\pi$?

1) x и -x

На числовой оси:

Точки, соответствующие числам $x$ и $-x$, расположены симметрично относительно начала координат (точки 0). Они находятся на одинаковом расстоянии $|x|$ от нуля, но в противоположных направлениях.

На единичной окружности:

Точки, соответствующие числам (углам в радианах) $x$ и $-x$, расположены симметрично относительно оси абсцисс (горизонтальной оси Ox). Если точка, соответствующая углу $x$, имеет координаты $(\cos x, \sin x)$, то точка, соответствующая углу $-x$, имеет координаты $(\cos(-x), \sin(-x)) = (\cos x, -\sin x)$.

Ответ: На числовой оси точки симметричны относительно нуля. На единичной окружности точки симметричны относительно оси абсцисс.

2) x и x+π

На числовой оси:

Точка, соответствующая числу $x+\pi$, получается смещением точки $x$ на $\pi$ единиц вправо. Расстояние между этими точками равно $\pi$.

На единичной окружности:

Точки, соответствующие числам $x$ и $x+\pi$, расположены диаметрально противоположно. Это означает, что они симметричны относительно центра окружности (начала координат). Прибавление $\pi$ к углу соответствует повороту на 180°.

Ответ: На числовой оси точка $x+\pi$ сдвинута вправо от точки $x$ на расстояние $\pi$. На единичной окружности точки диаметрально противоположны.

3) x и x+2nπ

На числовой оси:

Для любого ненулевого целого $n$ ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), точки, соответствующие числам $x$ и $x+2n\pi$, являются различными. Точка $x+2n\pi$ получается смещением точки $x$ на $2n\pi$. Если $n > 0$, смещение происходит вправо, если $n < 0$ - влево. Расстояние между точками равно $|2n\pi|$. Если $n=0$, точки совпадают.

На единичной окружности:

Прибавление $2\pi$ к углу соответствует полному обороту вокруг окружности. Поэтому прибавление $2n\pi$ (где $n$ - целое число) соответствует $n$ полным оборотам. В результате мы возвращаемся в ту же самую точку. Таким образом, точки, соответствующие числам $x$ и $x+2n\pi$, на единичной окружности совпадают.

Ответ: На числовой оси это разные точки (кроме случая $n=0$), отстоящие друг от друга на расстояние $|2n\pi|$. На единичной окружности эти точки совпадают.

4) x-π и x+π

На числовой оси:

Точки, соответствующие числам $x-\pi$ и $x+\pi$, расположены симметрично относительно точки $x$. Точка $x-\pi$ находится на расстоянии $\pi$ слева от $x$, а точка $x+\pi$ - на расстоянии $\pi$ справа от $x$. Расстояние между точками $x-\pi$ и $x+\pi$ равно $2\pi$.

На единичной окружности:

Разность между числами $x+\pi$ и $x-\pi$ составляет $(x+\pi) - (x-\pi) = 2\pi$. Как и в предыдущем пункте, разница в $2\pi$ означает полный оборот по окружности. Следовательно, точки, соответствующие числам $x-\pi$ и $x+\pi$, на единичной окружности совпадают. Обе эти точки диаметрально противоположны точке, соответствующей числу $x$.

Ответ: На числовой оси точки симметричны относительно точки $x$ и находятся на расстоянии $2\pi$ друг от друга. На единичной окружности эти точки совпадают.