Страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Тригонометрия

1. Что называется радиус-вектором?

2. Как определяется мера угла в положительном и отрицательном направлениях?

3. На какую дугу опирается угол в 1 радиан? Что вы понимаете под радианной мерой угла?

4. Как можно перейти от градусной меры угла к ее радианной мере и, обратно, от радианной меры к ее градусной мере?

1. Что называется радиус-вектором?

Радиус-вектором точки $M$ называется вектор, начало которого совпадает с началом координат (точкой $O$), а конец — с данной точкой $M$. Его обозначают как $\vec{OM}$ или $\vec{r}$.

В тригонометрии радиус-вектор часто рассматривается на единичной окружности. В этом случае его начало находится в центре окружности (совпадающем с началом координат), а конец — на самой окружности. Длина такого радиус-вектора равна радиусу окружности (обычно 1), а его направление задается углом поворота от положительного направления оси абсцисс.
Ответ: Радиус-вектор — это вектор, проведенный из начала координат в заданную точку.

2. Как определяется мера угла в положительном и отрицательном направлениях?

Мера угла определяется величиной и направлением поворота из начального положения в конечное. В тригонометрии за начальное положение луча обычно принимают положительное направление оси абсцисс (оси Ox).

Положительное направление: Поворот совершается против часовой стрелки. Угол, образованный таким поворотом, считается положительным.
Отрицательное направление: Поворот совершается по часовой стрелке. Угол, образованный таким поворотом, считается отрицательным.
Ответ: Мера угла положительна при повороте против часовой стрелки и отрицательна при повороте по часовой стрелке.

3. На какую дугу опирается угол в 1 радиан? Что вы понимаете под радианной мерой угла?

Центральный угол величиной в 1 радиан — это такой угол, который вырезает (опирается) на окружности дугу, длина которой равна радиусу этой окружности.

Радианная мера угла — это отношение длины дуги $l$, на которую опирается данный центральный угол, к радиусу $R$ окружности. Радианная мера угла $\alpha$ вычисляется по формуле: $ \alpha_{\text{рад}} = \frac{l}{R} $
Эта мера является безразмерной величиной (отношение длины к длине). Она удобна в математическом анализе и физике, так как многие формулы (например, производные тригонометрических функций) при ее использовании записываются проще.
Ответ: Угол в 1 радиан опирается на дугу, длина которой равна радиусу. Радианная мера — это отношение длины дуги, стягиваемой углом, к радиусу окружности.

4. Как можно перейти от градусной меры угла к ее радианной мере и, обратно, от радианной меры к ее градусной мере?

Переход между градусной и радианной мерами основан на том, что развернутый угол равен $180^\circ$ и одновременно соответствует дуге длиной $\pi R$ (половина длины окружности $2\pi R$), то есть его радианная мера равна $\pi$. Это дает ключевое соотношение: $ 180^\circ = \pi \text{ радиан} $

Переход от градусов к радианам:
Чтобы перевести угол из градусов в радианы, нужно его величину в градусах умножить на множитель $\frac{\pi}{180^\circ}$.
Формула: $\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$
Пример: Переведем $60^\circ$ в радианы. $ 60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ радиан}. $

Переход от радиан к градусам:
Чтобы перевести угол из радиан в градусы, нужно его величину в радианах умножить на множитель $\frac{180^\circ}{\pi}$.
Формула: $\alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$
Пример: Переведем $\frac{3\pi}{4}$ радиан в градусы. $ \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ. $
Ответ: Для перевода градусов в радианы нужно умножить значение на $\frac{\pi}{180^\circ}$. Для перевода радиан в градусы нужно умножить значение на $\frac{180^\circ}{\pi}$.

Практическая работа

Части квадрата и правильного треугольника отсечены прямой, проходящей через середины сторон, имеющие общую вершину. Найдите градусную и радианную меры углов, образовавшихся пятиугольника и четырехугольника (рис. 4.9).

Рис. 4.9

Пятиугольник
Рассмотрим квадрат, у которого отсекли угол, проведя прямую через середины двух смежных сторон. В результате образовался пятиугольник.
Исходный квадрат имеет четыре прямых угла, по $90^\circ$. Три из этих углов сохранились в получившемся пятиугольнике.
Два других угла пятиугольника образовались в серединах сторон квадрата. Отсеченная фигура — это прямоугольный треугольник. Так как отсекающая прямая соединяет середины сторон, катеты этого треугольника равны, а значит, он равнобедренный. Его острые углы равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
Углы пятиугольника, расположенные в серединах сторон квадрата, являются смежными с острыми углами отсеченного треугольника. Их величина составляет $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Таким образом, углы пятиугольника равны $90^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 135^\circ, 135^\circ$.
Для перевода в радианы используем соотношение $180^\circ = \pi$ рад.
$90^\circ = \frac{\pi}{2}$ рад.
$135^\circ = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$ рад.
Ответ: три угла по $90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$ рад) и два угла по $135^\circ$ ($\frac{3\pi}{4}$ рад).

Четырехугольник
Рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник. Все его углы равны $60^\circ$. Прямая, проходящая через середины двух сторон, отсекает от него меньший треугольник, а оставшаяся фигура является четырехугольником (равнобедренной трапецией).
Два угла этого четырехугольника у основания совпадают с углами исходного треугольника и равны $60^\circ$.
Отсекающая прямая является средней линией треугольника, поэтому она параллельна его основанию. Боковая сторона треугольника является секущей для этих параллельных прямых. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.
Следовательно, два других угла четырехугольника (при меньшем основании) равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Таким образом, углы четырехугольника равны $60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ$.
Переведем градусные меры в радианные:
$60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад.
$120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ рад.
Ответ: два угла по $60^\circ$ ($\frac{\pi}{3}$ рад) и два угла по $120^\circ$ ($\frac{2\pi}{3}$ рад).

4.1. С помощью тригонометрического круга изобразите углы, градусные меры которых равны $150^\circ$, $210^\circ$, $540^\circ$, $-45^\circ$, $-135^\circ$, $-720^\circ$.

Для изображения углов на тригонометрическом круге необходимо понимать основные принципы. Тригонометрический круг — это окружность единичного радиуса ($R=1$) с центром в начале декартовой системы координат. Отсчет углов начинается от положительного направления оси абсцисс (Ox). Положительные углы откладываются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Полный оборот составляет $360^\circ$.

Угол 150°

Так как угол положительный, откладываем его против часовой стрелки. Угол $150^\circ$ находится во второй координатной четверти, поскольку $90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$. Его можно представить как разность $180^\circ - 30^\circ$.

Угол 210°

Это положительный угол, откладываемый против часовой стрелки. Угол $210^\circ$ находится в третьей координатной четверти, так как $180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$. Его можно представить как сумму $180^\circ + 30^\circ$.

Угол 540°

Этот угол больше $360^\circ$, что означает, что он содержит как минимум один полный оборот. Чтобы найти его положение на круге, вычтем полный оборот: $540^\circ - 360^\circ = 180^\circ$. Следовательно, терминальная сторона угла $540^\circ$ совпадает с терминальной стороной угла $180^\circ$ и лежит на отрицательной части оси абсцисс.

Угол -45°

Так как угол отрицательный, откладываем его по часовой стрелке от начальной точки. Угол $-45^\circ$ находится в четвертой координатной четверти. Его положение совпадает с положением положительного угла $360^\circ - 45^\circ = 315^\circ$.

Угол -135°

Это отрицательный угол, откладываемый по часовой стрелке. Угол $-135^\circ$ находится в третьей координатной четверти. Его можно представить как сумму $-90^\circ + (-45^\circ)$. Его положение совпадает с положением положительного угла $360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$.

Угол -720°

Этот отрицательный угол соответствует ровно двум полным оборотам по часовой стрелке, так как $-720^\circ = -2 \times 360^\circ$. Его терминальная сторона возвращается в исходное положение, то есть совпадает с положением угла $0^\circ$.

Ответ:

Ниже представлен тригонометрический круг, на котором изображены все заданные углы. Каждый угол отмечен своим цветом и имеет подпись.

4.2. В какой координатной четверти находится радиус-вектор, соответствующий углу, равному:

1) $179^\circ$;

2) $325^\circ$;

3) $-150^\circ$;

4) $-10^\circ$;

5) $800^\circ$;

6) $10000^\circ$?

Для определения координатной четверти, в которой находится радиус-вектор, соответствующий заданному углу, необходимо соотнести величину угла с границами четвертей на координатной плоскости. Отсчет углов принято вести от положительного направления оси Ох против часовой стрелки. Координатная плоскость делится на четыре четверти:

I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$
II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$
III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$
IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$

Если угол отрицательный или превышает $360^\circ$, его можно привести к эквивалентному углу в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$ путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($360^\circ$). Положение радиус-вектора при этом не изменится. Общая формула: $\alpha_{экв} = \alpha + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — целое число, подобранное так, чтобы $0^\circ \le \alpha_{экв} < 360^\circ$.

1) 179°. Угол $179^\circ$ удовлетворяет неравенству $90^\circ < 179^\circ < 180^\circ$. Следовательно, радиус-вектор, соответствующий данному углу, находится во второй координатной четверти. Ответ: во второй четверти.

2) 325°. Угол $325^\circ$ удовлетворяет неравенству $270^\circ < 325^\circ < 360^\circ$. Следовательно, радиус-вектор находится в четвертой координатной четверти. Ответ: в четвертой четверти.

3) -150°. Для отрицательного угла найдем соответствующий ему положительный угол, прибавив $360^\circ$: $-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ$. Угол $210^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$. Следовательно, радиус-вектор находится в третьей координатной четверти. Ответ: в третьей четверти.

4) -10°. Найдем эквивалентный положительный угол: $-10^\circ + 360^\circ = 350^\circ$. Угол $350^\circ$ удовлетворяет неравенству $270^\circ < 350^\circ < 360^\circ$. Следовательно, радиус-вектор находится в четвертой координатной четверти. Ответ: в четвертой четверти.

5) 800°. Для угла, большего $360^\circ$, найдем эквивалентный угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$. Для этого вычтем из него целое число полных оборотов ($360^\circ$). $800^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 80^\circ$. Эквивалентный угол равен $80^\circ$. Угол $80^\circ$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < 80^\circ < 90^\circ$. Следовательно, радиус-вектор находится в первой координатной четверти. Ответ: в первой четверти.

6) 10000°. Найдем эквивалентный угол, находящийся в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ)$. Для этого найдем остаток от деления $10000$ на $360$. $10000 = 27 \cdot 360 + 280$. Таким образом, $10000^\circ$ эквивалентно $280^\circ$. Угол $280^\circ$ удовлетворяет неравенству $270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$. Следовательно, радиус-вектор находится в четвертой координатной четверти. Ответ: в четвертой четверти.

4.3. В какой координатной четверти находится радиус-вектор, соответствующий углу, равному:

1) $289^\circ$

2) $190^\circ$

3) $100^\circ$

4) $-20^\circ$

5) $-110^\circ$

6) $4200^\circ$?

Для определения координатной четверти, в которой находится радиус-вектор, необходимо сопоставить данный угол с границами четвертей на единичной окружности. Отсчет углов начинается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки.

Координатные четверти определяются следующими диапазонами углов:
I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$)
II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$)
III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$)
IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$)

Для углов, выходящих за пределы от $0^\circ$ до $360^\circ$, необходимо найти соответствующий им угол в этом диапазоне путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($360^\circ$). Для отрицательных углов отсчет ведется по часовой стрелке, или можно привести их к положительным, прибавив $360^\circ$.

1) 289°
Угол $289^\circ$ находится в интервале от $270^\circ$ до $360^\circ$, так как выполняется неравенство $270^\circ < 289^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится в IV координатной четверти.
Ответ: IV четверть.

2) 190°
Угол $190^\circ$ находится в интервале от $180^\circ$ до $270^\circ$, так как выполняется неравенство $180^\circ < 190^\circ < 270^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится в III координатной четверти.
Ответ: III четверть.

3) 100°
Угол $100^\circ$ находится в интервале от $90^\circ$ до $180^\circ$, так как выполняется неравенство $90^\circ < 100^\circ < 180^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится во II координатной четверти.
Ответ: II четверть.

4) -20°
Отрицательный угол означает движение по часовой стрелке. Чтобы найти соответствующий положительный угол в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$, прибавим $360^\circ$: $\alpha = -20^\circ + 360^\circ = 340^\circ$.
Угол $340^\circ$ находится в интервале от $270^\circ$ до $360^\circ$, так как $270^\circ < 340^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится в IV координатной четверти.
Ответ: IV четверть.

5) -110°
Приведем отрицательный угол к положительному в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$, прибавив $360^\circ$: $\alpha = -110^\circ + 360^\circ = 250^\circ$.
Угол $250^\circ$ находится в интервале от $180^\circ$ до $270^\circ$, так как $180^\circ < 250^\circ < 270^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится в III координатной четверти.
Ответ: III четверть.

6) 4200°
Угол $4200^\circ$ больше $360^\circ$. Чтобы найти эквивалентный угол в пределах одного оборота ($0^\circ$ до $360^\circ$), нужно найти остаток от деления $4200$ на $360$.
$4200 \div 360 = 11$ с остатком. $11 \times 360^\circ = 3960^\circ$.
Остаток: $4200^\circ - 3960^\circ = 240^\circ$.
Таким образом, угол $4200^\circ$ соответствует углу $240^\circ$.
Угол $240^\circ$ находится в интервале от $180^\circ$ до $270^\circ$, так как $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится в III координатной четверти.
Ответ: III четверть.

4.4. Выразите углы $40^{\circ}, 150^{\circ}, 315^{\circ}, 1000^{\circ}, -20^{\circ}, -120^{\circ}, -300^{\circ}$ в радианах.

Для того чтобы выразить угол из градусов в радианы, необходимо использовать формулу перевода. Зная, что $180^\circ$ равны $\pi$ радиан, мы можем получить коэффициент для перевода: чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить значение угла в градусах на $\frac{\pi}{180}$.

Формула перевода:$угол_{рад} = угол_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$

Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

40°:$40^\circ = 40 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{40\pi}{180} = \frac{2\pi}{9}$ радиан.Ответ: $\frac{2\pi}{9}$

150°:$150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$ радиан.Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

315°:$315^\circ = 315 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{315\pi}{180} = \frac{7 \cdot 45 \pi}{4 \cdot 45} = \frac{7\pi}{4}$ радиан.Ответ: $\frac{7\pi}{4}$

1000°:$1000^\circ = 1000 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{1000\pi}{180} = \frac{50\pi}{9}$ радиан.Ответ: $\frac{50\pi}{9}$

-20°:$-20^\circ = -20 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{20\pi}{180} = -\frac{\pi}{9}$ радиан.Ответ: $-\frac{\pi}{9}$

-120°:$-120^\circ = -120 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{120\pi}{180} = -\frac{2\pi}{3}$ радиан.Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$

-300°:$-300^\circ = -300 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{300\pi}{180} = -\frac{5\pi}{3}$ радиан.Ответ: $-\frac{5\pi}{3}$

4.5. Выразите углы

$ \frac{\pi}{3} $; $ -\frac{2\pi}{3} $; $ \frac{21\pi}{4} $; $ \frac{\pi}{8} $; $ 3 $; $ 100 $; $ 0,8 $; $ \frac{5\pi}{2} $ в градусах.

Для перевода угла из радианной меры в градусную используется формула, основанная на соотношении $\pi \text{ рад} = 180^{\circ}$. Чтобы перевести угол из радиан в градусы, нужно умножить его значение на $\frac{180^{\circ}}{\pi}$.

$\frac{\pi}{3}$

Переведем угол $\frac{\pi}{3}$ радиан в градусы:

$\frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}$

Ответ: $60^{\circ}$.

$-\frac{2\pi}{3}$

Переведем угол $-\frac{2\pi}{3}$ радиан в градусы:

$-\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = -2 \cdot \frac{180^{\circ}}{3} = -2 \cdot 60^{\circ} = -120^{\circ}$

Ответ: $-120^{\circ}$.

$\frac{21\pi}{4}$

Переведем угол $\frac{21\pi}{4}$ радиан в градусы:

$\frac{21\pi}{4} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = 21 \cdot \frac{180^{\circ}}{4} = 21 \cdot 45^{\circ} = 945^{\circ}$

Ответ: $945^{\circ}$.

$\frac{\pi}{8}$

Переведем угол $\frac{\pi}{8}$ радиан в градусы:

$\frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180^{\circ}}{8} = \frac{45^{\circ}}{2} = 22,5^{\circ}$

Ответ: $22,5^{\circ}$.

3 Переведем угол 3 радиана в градусы:

$3 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{540^{\circ}}{\pi}$

Ответ: $\frac{540^{\circ}}{\pi}$.

100 Переведем угол 100 радиан в градусы:

$100 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{18000^{\circ}}{\pi}$

Ответ: $\frac{18000^{\circ}}{\pi}$.

0,8

Переведем угол 0,8 радиан в градусы:

$0,8 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{144^{\circ}}{\pi}$

Ответ: $\frac{144^{\circ}}{\pi}$.

$\frac{5\pi}{2}$

Переведем угол $\frac{5\pi}{2}$ радиан в градусы:

$\frac{5\pi}{2} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = 5 \cdot \frac{180^{\circ}}{2} = 5 \cdot 90^{\circ} = 450^{\circ}$

Ответ: $450^{\circ}$.