Номер 4.2, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.2. В какой координатной четверти находится радиус-вектор, соответствующий углу, равному:

1) $179^\circ$;

2) $325^\circ$;

3) $-150^\circ$;

4) $-10^\circ$;

5) $800^\circ$;

6) $10000^\circ$?

Для определения координатной четверти, в которой находится радиус-вектор, соответствующий заданному углу, необходимо соотнести величину угла с границами четвертей на координатной плоскости. Отсчет углов принято вести от положительного направления оси Ох против часовой стрелки. Координатная плоскость делится на четыре четверти:

I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$
II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$
III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$
IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$

Если угол отрицательный или превышает $360^\circ$, его можно привести к эквивалентному углу в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$ путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($360^\circ$). Положение радиус-вектора при этом не изменится. Общая формула: $\alpha_{экв} = \alpha + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — целое число, подобранное так, чтобы $0^\circ \le \alpha_{экв} < 360^\circ$.

1) 179°. Угол $179^\circ$ удовлетворяет неравенству $90^\circ < 179^\circ < 180^\circ$. Следовательно, радиус-вектор, соответствующий данному углу, находится во второй координатной четверти. Ответ: во второй четверти.

2) 325°. Угол $325^\circ$ удовлетворяет неравенству $270^\circ < 325^\circ < 360^\circ$. Следовательно, радиус-вектор находится в четвертой координатной четверти. Ответ: в четвертой четверти.

3) -150°. Для отрицательного угла найдем соответствующий ему положительный угол, прибавив $360^\circ$: $-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ$. Угол $210^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$. Следовательно, радиус-вектор находится в третьей координатной четверти. Ответ: в третьей четверти.

4) -10°. Найдем эквивалентный положительный угол: $-10^\circ + 360^\circ = 350^\circ$. Угол $350^\circ$ удовлетворяет неравенству $270^\circ < 350^\circ < 360^\circ$. Следовательно, радиус-вектор находится в четвертой координатной четверти. Ответ: в четвертой четверти.

5) 800°. Для угла, большего $360^\circ$, найдем эквивалентный угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$. Для этого вычтем из него целое число полных оборотов ($360^\circ$). $800^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 80^\circ$. Эквивалентный угол равен $80^\circ$. Угол $80^\circ$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < 80^\circ < 90^\circ$. Следовательно, радиус-вектор находится в первой координатной четверти. Ответ: в первой четверти.

6) 10000°. Найдем эквивалентный угол, находящийся в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ)$. Для этого найдем остаток от деления $10000$ на $360$. $10000 = 27 \cdot 360 + 280$. Таким образом, $10000^\circ$ эквивалентно $280^\circ$. Угол $280^\circ$ удовлетворяет неравенству $270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$. Следовательно, радиус-вектор находится в четвертой координатной четверти. Ответ: в четвертой четверти.