Номер 3.151, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.151. Найдите сумму:

1) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1) \cdot n} + \dots;$

2) $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(n-1)n(n+1)} + \dots$

1)

Данная сумма представляет собой бесконечный ряд. Общий член ряда, как указано в условии, имеет вид $\frac{1}{(k-1)k}$, где $k$ пробегает значения от $2$ до бесконечности. Обозначим его $a_k$.

Представим общий член ряда в виде разности двух дробей:

$a_k = \frac{1}{(k-1)k} = \frac{k - (k-1)}{(k-1)k} = \frac{k}{(k-1)k} - \frac{k-1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$.

Теперь найдем частичную сумму ряда $S_n$, которая является суммой первых членов до слагаемого $\frac{1}{(n-1)n}$:

$S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k} = \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)$.

Распишем эту сумму:

$S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$.

Эта сумма является телескопической, так как все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются.

В результате сложения остаются только первый член из первой пары и последний член из последней пары:

$S_n = 1 - \frac{1}{n}$.

Сумма бесконечного ряда — это предел его частичных сумм при $n \to \infty$:

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

2)

Общий член этого ряда имеет вид $a_k = \frac{1}{(k-1)k(k+1)}$, где $k$ пробегает значения от $2$ до бесконечности.

Представим общий член ряда в виде разности, используя следующий прием:

$a_k = \frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(k-1)k(k+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(k+1)-(k-1)}{(k-1)k(k+1)}$.

Разделив числитель, получим разность двух дробей:

$a_k = \frac{1}{2} \left( \frac{k+1}{(k-1)k(k+1)} - \frac{k-1}{(k-1)k(k+1)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(k-1)k} - \frac{1}{k(k+1)} \right)$.

Найдем частичную сумму ряда $S_n$, которая является суммой членов до слагаемого $\frac{1}{(n-1)n(n+1)}$:

$S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(k-1)k} - \frac{1}{k(k+1)} \right)$.

Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{2}$ за знак суммы:

$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{(k-1)k} - \frac{1}{k(k+1)} \right)$.

Распишем сумму:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3}\right) + \left(\frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{(n-1)n} - \frac{1}{n(n+1)}\right) \right]$.

Эта сумма также является телескопической. Промежуточные члены сокращаются.

Остаются только первый и последний члены внутри скобок:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} \right)$.

Сумма бесконечного ряда — это предел его частичных сумм при $n \to \infty$:

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} \right)$.

Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)} = 0$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.