Номер 3.147, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.147. Найдите сумму:

1) $\frac{1}{4 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 18} + \ldots + \frac{1}{(7n - 3)(7n + 4)};$

2) $\frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(4n - 1)(4n + 3)}.$

1)

Данная сумма представляет собой сумму членов ряда, который можно записать в виде $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(7k-3)(7k+4)}$.

Для нахождения суммы воспользуемся методом разложения общего члена ряда на простейшие дроби. Общий член ряда имеет вид $a_k = \frac{1}{(7k-3)(7k+4)}$. Заметим, что разность множителей в знаменателе постоянна: $(7k+4) - (7k-3) = 7$.

Представим общий член в виде разности двух дробей:

$a_k = \frac{1}{(7k-3)(7k+4)} = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{(7k-3)(7k+4)} = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7k+4)-(7k-3)}{(7k-3)(7k+4)} = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{7k-3} - \frac{1}{7k+4} \right)$

Теперь запишем сумму ряда, используя это представление:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{7} \left( \frac{1}{7k-3} - \frac{1}{7k+4} \right) = \frac{1}{7} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{7k-3} - \frac{1}{7k+4} \right)$

Расшифруем сумму для первых и последнего членов:

$S_n = \frac{1}{7} \left[ \left(\frac{1}{7 \cdot 1 - 3} - \frac{1}{7 \cdot 1 + 4}\right) + \left(\frac{1}{7 \cdot 2 - 3} - \frac{1}{7 \cdot 2 + 4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{7n-3} - \frac{1}{7n+4}\right) \right]$

$S_n = \frac{1}{7} \left[ \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{18}\right) + \dots + \left(\frac{1}{7n-3} - \frac{1}{7n+4}\right) \right]$

Эта сумма является телескопической. Все промежуточные члены взаимно уничтожаются (например, $-\frac{1}{11}$ и $+\frac{1}{11}$), и остаются только первый и последний член:

$S_n = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7n+4} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$S_n = \frac{1}{7} \left( \frac{7n+4 - 4}{4(7n+4)} \right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{7n}{4(7n+4)} = \frac{n}{4(7n+4)}$

Ответ: $\frac{n}{4(7n+4)}$

2)

Аналогично первому пункту, найдем сумму $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$.

Общий член ряда: $a_k = \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$. Разность множителей в знаменателе равна $(4k+3) - (4k-1) = 4$.

Представим общий член в виде разности:

$a_k = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4k+3)-(4k-1)}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

Теперь найдем сумму ряда, подставляя это выражение:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

Расшифруем сумму:

$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{4 \cdot 1 - 1} - \frac{1}{4 \cdot 1 + 3}\right) + \left(\frac{1}{4 \cdot 2 - 1} - \frac{1}{4 \cdot 2 + 3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right) \right]$

$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{11}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right) \right]$

Это также телескопическая сумма, в которой все промежуточные члены сокращаются. Остаются только первый и последний член:

$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+3 - 3}{3(4n+3)} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4n}{3(4n+3)} = \frac{n}{3(4n+3)}$

Ответ: $\frac{n}{3(4n+3)}$