Номер 3.142, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.142. Вычислите значение выражения $\frac{0,1(2) + 0,3(4)}{0,4(5) - 0,2(3)}$.

Для вычисления значения выражения необходимо сперва преобразовать все периодические десятичные дроби в обыкновенные.

1. Преобразование периодических дробей в обыкновенные

Для преобразования смешанной периодической дроби в обыкновенную используется следующий метод. Рассмотрим каждую дробь из выражения:

а) $0,1(2)$. Пусть $x = 0,1(2) = 0,1222...$. Умножим обе части на 10, чтобы неповторяющаяся часть оказалась слева от запятой: $10x = 1,222...$. Затем умножим на 100, чтобы сдвинуть один период влево от запятой: $100x = 12,222...$. Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 12,222... - 1,222...$
$90x = 11$
$x = \frac{11}{90}$.

б) $0,3(4)$. Пусть $y = 0,3(4) = 0,3444...$. Тогда $10y = 3,444...$ и $100y = 34,444...$. Вычитая, получаем:
$100y - 10y = 34,444... - 3,444...$
$90y = 31$
$y = \frac{31}{90}$.

в) $0,4(5)$. Пусть $z = 0,4(5) = 0,4555...$. Тогда $10z = 4,555...$ и $100z = 45,555...$. Вычитая, получаем:
$100z - 10z = 45,555... - 4,555...$
$90z = 41$
$z = \frac{41}{90}$.

г) $0,2(3)$. Пусть $w = 0,2(3) = 0,2333...$. Тогда $10w = 2,333...$ и $100w = 23,333...$. Вычитая, получаем:
$100w - 10w = 23,333... - 2,333...$
$90w = 21$
$w = \frac{21}{90}$.

2. Вычисление значения выражения

Подставим полученные обыкновенные дроби в исходное выражение:

$\frac{0,1(2) + 0,3(4)}{0,4(5) - 0,2(3)} = \frac{\frac{11}{90} + \frac{31}{90}}{\frac{41}{90} - \frac{21}{90}}$

Выполним действия в числителе и знаменателе дроби.

Числитель: $\frac{11}{90} + \frac{31}{90} = \frac{11 + 31}{90} = \frac{42}{90}$.

Знаменатель: $\frac{41}{90} - \frac{21}{90} = \frac{41 - 21}{90} = \frac{20}{90}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{42}{90}}{\frac{20}{90}} = \frac{42}{90} \cdot \frac{90}{20} = \frac{42}{20}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2, и представим результат в виде десятичной дроби:

$\frac{42}{20} = \frac{21}{10} = 2,1$

Ответ: $2,1$.