Номер 3.149, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.149. Является ли последовательность $\{ |a_n| \}$ арифметической прогрессией, если $\{ a_n \}$ – арифметическая прогрессия?

Нет, в общем случае последовательность {$|a_n|$} не является арифметической прогрессией, даже если {$a_n$} — арифметическая прогрессия. Для доказательства этого утверждения достаточно привести контрпример.

Напомним, что последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом, является постоянным числом. Это число называется разностью прогрессии.

Пусть {$a_n$} — арифметическая прогрессия. Чтобы последовательность {$|a_n|$} была арифметической прогрессией, необходимо, чтобы разность $|a_{n+1}| - |a_n|$ была постоянной для всех натуральных $n$.

Рассмотрим в качестве контрпримера арифметическую прогрессию {$a_n$}, у которой первый член $a_1 = -3$ и разность $d = 2$.

Запишем первые несколько членов этой прогрессии:

$a_1 = -3$

$a_2 = a_1 + d = -3 + 2 = -1$

$a_3 = a_2 + d = -1 + 2 = 1$

$a_4 = a_3 + d = 1 + 2 = 3$

Таким образом, последовательность {$a_n$} имеет вид: -3, -1, 1, 3, ...

Теперь построим последовательность {$|a_n|$}, взяв модули этих членов:

$|a_1| = |-3| = 3$

$|a_2| = |-1| = 1$

$|a_3| = |1| = 1$

$|a_4| = |3| = 3$

Последовательность {$|a_n|$} имеет вид: 3, 1, 1, 3, ...

Проверим, является ли {$|a_n|$} арифметической прогрессией. Для этого вычислим разности между соседними членами:

$|a_2| - |a_1| = 1 - 3 = -2$

$|a_3| - |a_2| = 1 - 1 = 0$

Мы видим, что разности получились разными ($-2 \neq 0$). Это означает, что последовательность {$|a_n|$} не является арифметической прогрессией.

Следовательно, утверждение, что последовательность {$|a_n|$} всегда является арифметической прогрессией, если {$a_n$} — арифметическая прогрессия, неверно.

Стоит отметить, что последовательность {$|a_n|$} будет арифметической прогрессией только в двух случаях:

1. Если все члены прогрессии {$a_n$} неотрицательны ($a_n \ge 0$). Тогда $|a_n| = a_n$, и {$|a_n|$} является арифметической прогрессией с той же разностью $d$.

2. Если все члены прогрессии {$a_n$} неположительны ($a_n \le 0$). Тогда $|a_n| = -a_n$, и {$|a_n|$} является арифметической прогрессией с разностью $-d$.

Проблема возникает, когда исходная прогрессия содержит члены разных знаков.

Ответ: Нет, не является.