Практическая работа, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Части квадрата и правильного треугольника отсечены прямой, проходящей через середины сторон, имеющие общую вершину. Найдите градусную и радианную меры углов, образовавшихся пятиугольника и четырехугольника (рис. 4.9).

Рис. 4.9

Пятиугольник
Рассмотрим квадрат, у которого отсекли угол, проведя прямую через середины двух смежных сторон. В результате образовался пятиугольник.
Исходный квадрат имеет четыре прямых угла, по $90^\circ$. Три из этих углов сохранились в получившемся пятиугольнике.
Два других угла пятиугольника образовались в серединах сторон квадрата. Отсеченная фигура — это прямоугольный треугольник. Так как отсекающая прямая соединяет середины сторон, катеты этого треугольника равны, а значит, он равнобедренный. Его острые углы равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
Углы пятиугольника, расположенные в серединах сторон квадрата, являются смежными с острыми углами отсеченного треугольника. Их величина составляет $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Таким образом, углы пятиугольника равны $90^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 135^\circ, 135^\circ$.
Для перевода в радианы используем соотношение $180^\circ = \pi$ рад.
$90^\circ = \frac{\pi}{2}$ рад.
$135^\circ = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$ рад.
Ответ: три угла по $90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$ рад) и два угла по $135^\circ$ ($\frac{3\pi}{4}$ рад).

Четырехугольник
Рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник. Все его углы равны $60^\circ$. Прямая, проходящая через середины двух сторон, отсекает от него меньший треугольник, а оставшаяся фигура является четырехугольником (равнобедренной трапецией).
Два угла этого четырехугольника у основания совпадают с углами исходного треугольника и равны $60^\circ$.
Отсекающая прямая является средней линией треугольника, поэтому она параллельна его основанию. Боковая сторона треугольника является секущей для этих параллельных прямых. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.
Следовательно, два других угла четырехугольника (при меньшем основании) равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Таким образом, углы четырехугольника равны $60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ$.
Переведем градусные меры в радианные:
$60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад.
$120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ рад.
Ответ: два угла по $60^\circ$ ($\frac{\pi}{3}$ рад) и два угла по $120^\circ$ ($\frac{2\pi}{3}$ рад).