Номер 3.137, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.137. Докажите, что числа $\frac{1}{y+z}$, $\frac{1}{z+x}$, $\frac{1}{x+y}$ составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда числа $x^2$, $y^2$, $z^2$ образуют арифметическую прогрессию.

Для доказательства утверждения "А тогда и только тогда, когда Б", необходимо показать, что истинность утверждения А равносильна истинности утверждения Б. В данном случае, А — это "числа $\frac{1}{y+z}$, $\frac{1}{z+x}$, $\frac{1}{x+y}$ составляют арифметическую прогрессию", а Б — это "числа $x^2$, $y^2$, $z^2$ образуют арифметическую прогрессию".

Три числа $a_1$, $a_2$, $a_3$ составляют арифметическую прогрессию, если выполняется ее характеристическое свойство: $2a_2 = a_1 + a_3$.

Применим это свойство к последовательности $\frac{1}{y+z}$, $\frac{1}{z+x}$, $\frac{1}{x+y}$. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, если:

$2 \cdot \frac{1}{z+x} = \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x+y}$

Мы должны показать, что это равенство эквивалентно условию для второй последовательности. Начнем с преобразования этого выражения. Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{2}{z+x} = \frac{(x+y) + (y+z)}{(y+z)(x+y)}$

$\frac{2}{z+x} = \frac{x+2y+z}{(y+z)(x+y)}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение). Это преобразование является равносильным при условии, что знаменатели $z+x$, $y+z$ и $x+y$ не равны нулю, что необходимо для самого существования исходных дробей.

$2(y+z)(x+y) = (z+x)(x+2y+z)$

Раскроем скобки в обеих частях равенства.

Левая часть: $2(xy+y^2+zx+zy) = 2xy+2y^2+2zx+2zy$.

Правая часть: $(z+x)(x+z+2y) = (z+x)((z+x)+2y) = (z+x)^2+2y(z+x) = z^2+2zx+x^2+2yz+2xy$.

Приравняем полученные выражения:

$2xy+2y^2+2zx+2zy = x^2+z^2+2zx+2yz+2xy$

Сократим одинаковые слагаемые в обеих частях равенства ($2xy$, $2zx$ и $2zy$):

$2y^2 = x^2+z^2$

Полученное равенство $2y^2 = x^2+z^2$ является характеристическим свойством арифметической прогрессии для последовательности чисел $x^2$, $y^2$, $z^2$.

Поскольку все выполненные алгебраические преобразования являются равносильными (т.е. каждое последующее равенство является следствием предыдущего, и наоборот), мы доказали, что исходные условия эквивалентны.

Таким образом, числа $\frac{1}{y+z}$, $\frac{1}{z+x}$, $\frac{1}{x+y}$ составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда числа $x^2$, $y^2$, $z^2$ образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: Утверждение доказано.