Номер 3.133, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.133. Напишите формулу общего члена геометрической про-грессии:

1) $a_1=7, a_2=8;$

2) $a_1=3, a_3=\frac{1}{3};$

3) $a_4=a_6=-1.$

1) $a_1=7, a_2=8$;
Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, где $a_1$ – первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии.
Найдем знаменатель прогрессии $q$ как отношение второго члена к первому:
$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{7}$.
Первый член прогрессии задан: $a_1 = 7$.
Подставим найденные значения $a_1$ и $q$ в общую формулу:
$a_n = 7 \cdot \left(\frac{8}{7}\right)^{n-1}$.
Ответ: $a_n = 7 \cdot \left(\frac{8}{7}\right)^{n-1}$.

2) $a_1=3, a_3=\frac{1}{3}$;
Воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.
Для третьего члена ($n=3$) формула выглядит так: $a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2$.
Подставим известные значения $a_1=3$ и $a_3=\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3} = 3 \cdot q^2$.
Выразим и найдем $q^2$:
$q^2 = \frac{1/3}{3} = \frac{1}{9}$.
Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя $q$: $q = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ или $q = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$.
Следовательно, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию. Напишем формулу общего члена для каждой из них.
Случай 1: $q = \frac{1}{3}$.
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$.
Случай 2: $q = -\frac{1}{3}$.
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$.
Ответ: $a_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ или $a_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$.

3) $a_4=a_6=-1$.
Для нахождения знаменателя $q$ воспользуемся связью между $a_6$ и $a_4$: $a_m = a_k \cdot q^{m-k}$. В нашем случае:
$a_6 = a_4 \cdot q^{6-4} = a_4 \cdot q^2$.
Подставим заданные значения $a_4=-1$ и $a_6=-1$:
$-1 = -1 \cdot q^2$.
Отсюда следует, что $q^2 = 1$.
Это дает два возможных значения для знаменателя: $q=1$ или $q=-1$.
Рассмотрим оба случая, чтобы найти первый член $a_1$ и записать формулу для $a_n$.
Случай 1: $q=1$.
Используем формулу $a_4 = a_1 \cdot q^3$ для нахождения $a_1$:
$-1 = a_1 \cdot 1^3 \implies a_1 = -1$.
Формула общего члена для этой прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = -1 \cdot 1^{n-1} = -1$. Это постоянная последовательность.
Случай 2: $q=-1$.
Снова используем формулу $a_4 = a_1 \cdot q^3$ для нахождения $a_1$:
$-1 = a_1 \cdot (-1)^3 = a_1 \cdot (-1) \implies a_1 = 1$.
Формула общего члена для этой прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1}$. Это знакочередующаяся последовательность.
Ответ: $a_n = -1$ или $a_n = (-1)^{n-1}$.