Номер 3.130, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.130. Покажите, что последовательность $b_n = \frac{2n+3}{6n-5}$ является

монотонно убывающей.

Чтобы показать, что последовательность является монотонно убывающей, необходимо доказать, что для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $b_{n+1} < b_n$.

Общий член последовательности задан формулой: $b_n = \frac{2n + 3}{6n - 5}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:

$b_{n+1} = \frac{2(n+1) + 3}{6(n+1) - 5} = \frac{2n + 2 + 3}{6n + 6 - 5} = \frac{2n + 5}{6n + 1}$.

Для доказательства монотонности рассмотрим разность двух последовательных членов $b_{n+1} - b_n$ и определим ее знак.

$b_{n+1} - b_n = \frac{2n + 5}{6n + 1} - \frac{2n + 3}{6n - 5}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(6n + 1)(6n - 5)$:

$b_{n+1} - b_n = \frac{(2n + 5)(6n - 5) - (2n + 3)(6n + 1)}{(6n + 1)(6n - 5)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(2n + 5)(6n - 5) = 12n^2 - 10n + 30n - 25 = 12n^2 + 20n - 25$

$(2n + 3)(6n + 1) = 12n^2 + 2n + 18n + 3 = 12n^2 + 20n + 3$

Подставим полученные выражения в числитель разности:

$b_{n+1} - b_n = \frac{(12n^2 + 20n - 25) - (12n^2 + 20n + 3)}{(6n + 1)(6n - 5)}$

Упростим числитель:

$b_{n+1} - b_n = \frac{12n^2 + 20n - 25 - 12n^2 - 20n - 3}{(6n + 1)(6n - 5)} = \frac{-28}{(6n + 1)(6n - 5)}$

Теперь проанализируем знак полученного выражения. Поскольку $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$:

1. Числитель дроби равен $-28$, то есть он отрицателен.

2. Знаменатель $(6n + 1)(6n - 5)$ является произведением двух множителей. Для любого $n \ge 1$ оба множителя положительны: $6n + 1 > 0$ и $6n - 5 \ge 6(1)-5 = 1 > 0$. Следовательно, знаменатель всегда положителен.

Таким образом, разность $b_{n+1} - b_n$ представляет собой частное от деления отрицательного числа на положительное, что всегда дает отрицательный результат. Значит, $b_{n+1} - b_n < 0$ для всех натуральных $n$.

Из неравенства $b_{n+1} - b_n < 0$ следует, что $b_{n+1} < b_n$ для любого натурального $n$. По определению, это означает, что последовательность $b_n$ является монотонно убывающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.