Номер 3.132, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.132. Напишите формулу общего члена арифметической прогрессии:

1) $a_1=6, a_4=0;$

2) $a_1=5, a_2=-5;$

3) $a_4=-4, a_{17}=-17;$

4) $a_{10}=0, a_{40}=-30.$

1)Дано: первый член прогрессии $a_1=6$ и четвертый член $a_4=0$.
Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.
Чтобы найти формулу для $a_n$, сначала определим разность прогрессии $d$. Используем данные для четвертого члена:
$a_4 = a_1 + (4-1)d$
Подставим известные значения:
$0 = 6 + 3d$
Решим уравнение относительно $d$:
$3d = -6$
$d = -2$
Теперь, зная первый член $a_1=6$ и разность $d=-2$, подставим эти значения в общую формулу:
$a_n = 6 + (n-1)(-2)$
Упростим выражение:
$a_n = 6 - 2n + 2$
$a_n = 8 - 2n$
Ответ: $a_n = 8 - 2n$.

2)Дано: первый член прогрессии $a_1=5$ и второй член $a_2=-5$.
Разность арифметической прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами: $d = a_{n+1} - a_n$.
Найдем разность $d$:
$d = a_2 - a_1 = -5 - 5 = -10$
Теперь, имея первый член $a_1=5$ и разность $d=-10$, запишем формулу общего члена, используя стандартный вид $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 5 + (n-1)(-10)$
Упростим полученное выражение:
$a_n = 5 - 10n + 10$
$a_n = 15 - 10n$
Ответ: $a_n = 15 - 10n$.

3)Дано: четвертый член прогрессии $a_4=-4$ и семнадцатый член $a_{17}=-17$.
Для нахождения формулы общего члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ нам необходимо найти $a_1$ и $d$.
Запишем выражения для $a_4$ и $a_{17}$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d \Rightarrow a_1 + 3d = -4$
$a_{17} = a_1 + (17-1)d \Rightarrow a_1 + 16d = -17$
Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} a_1 + 3d = -4 \\ a_1 + 16d = -17 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:
$(a_1 + 16d) - (a_1 + 3d) = -17 - (-4)$
$13d = -13$
$d = -1$
Теперь подставим значение $d=-1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 3(-1) = -4$
$a_1 - 3 = -4$
$a_1 = -1$
Подставим найденные $a_1=-1$ и $d=-1$ в формулу общего члена:
$a_n = -1 + (n-1)(-1)$
$a_n = -1 - n + 1$
$a_n = -n$
Ответ: $a_n = -n$.

4)Дано: десятый член прогрессии $a_{10}=0$ и сороковой член $a_{40}=-30$.
Как и в предыдущем пункте, найдем $a_1$ и $d$, составив систему уравнений на основе формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_{10} = a_1 + (10-1)d \Rightarrow a_1 + 9d = 0$
$a_{40} = a_1 + (40-1)d \Rightarrow a_1 + 39d = -30$
Запишем систему уравнений:
$\begin{cases} a_1 + 9d = 0 \\ a_1 + 39d = -30 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(a_1 + 39d) - (a_1 + 9d) = -30 - 0$
$30d = -30$
$d = -1$
Подставим $d=-1$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 9(-1) = 0$
$a_1 - 9 = 0$
$a_1 = 9$
Теперь запишем итоговую формулу для $a_n$ с найденными $a_1=9$ и $d=-1$:
$a_n = 9 + (n-1)(-1)$
$a_n = 9 - n + 1$
$a_n = 10 - n$
Ответ: $a_n = 10 - n$.