Номер 3.29, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.29. Докажите неравенство $(1+h)^n > 1+nh$ для любого натурального $n \ge 2$, если $h > -1$, $h \ne 0$. Это неравенство называется неравенством Бернулли.

Для доказательства неравенства Бернулли $(1+h)^n > 1+nh$ для любого натурального числа $n \ge 2$, при условиях $h > -1$ и $h \ne 0$, воспользуемся методом математической индукции.

База индукции

Проверим истинность утверждения для наименьшего значения $n$ из заданного диапазона, то есть для $n=2$.

Подставляем $n=2$ в неравенство:

$(1+h)^2 > 1+2h$

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы:

$1 + 2h + h^2 > 1+2h$

Вычтем из обеих частей неравенства выражение $1+2h$:

$h^2 > 0$

По условию задачи $h \ne 0$. Квадрат любого действительного ненулевого числа всегда строго положителен. Следовательно, неравенство $h^2>0$ верно.

Таким образом, база индукции верна.

Индукционное предположение

Предположим, что неравенство справедливо для некоторого натурального числа $k$, где $k \ge 2$:

$(1+h)^k > 1+kh$

Индукционный шаг

Докажем, что если неравенство верно для $n=k$, то оно будет верно и для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $(1+h)^{k+1} > 1+(k+1)h$.

Возьмем левую часть неравенства для $n=k+1$ и преобразуем ее:

$(1+h)^{k+1} = (1+h)^k \cdot (1+h)$

Согласно индукционному предположению, $(1+h)^k > 1+kh$. По условию $h > -1$, следовательно, $1+h > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства предположения на положительное число $(1+h)$, при этом знак неравенства не изменится:

$(1+h)^k \cdot (1+h) > (1+kh) \cdot (1+h)$

Следовательно,

$(1+h)^{k+1} > (1+kh)(1+h)$

Раскроем скобки в правой части полученного неравенства:

$(1+kh)(1+h) = 1 + h + kh + kh^2 = 1 + (k+1)h + kh^2$

Таким образом, мы показали, что:

$(1+h)^{k+1} > 1 + (k+1)h + kh^2$

Теперь сравним правую часть этого неравенства с тем, что нам нужно доказать, т.е. с $1+(k+1)h$.

Поскольку $k \ge 2$ (положительное целое число) и $h \ne 0$ (значит $h^2 > 0$), произведение $kh^2$ является строго положительным числом: $kh^2 > 0$.

Это означает, что:

$1 + (k+1)h + kh^2 > 1+(k+1)h$

Применяя свойство транзитивности для неравенств, мы объединяем два последних результата:

$(1+h)^{k+1} > 1 + (k+1)h + kh^2$ и $1 + (k+1)h + kh^2 > 1+(k+1)h$

Отсюда следует, что:

$(1+h)^{k+1} > 1+(k+1)h$

Индукционный шаг доказан.

Вывод

Мы установили, что утверждение верно для $n=2$ (база индукции) и доказали, что из его верности для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$ (индукционный шаг). По принципу математической индукции, неравенство $(1+h)^n > 1+nh$ доказано для всех натуральных чисел $n \ge 2$ при $h>-1$ и $h \ne 0$.

Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.