Номер 3.21, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.21. Докажите тождества, используя метод математической индукции:

1) $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2};$

2) $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};$

3) $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4};$

4) $1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1);$

5) $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3};$

6) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3};$

7) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + ... + n(3n+1) = n(n+1)^2;$

8) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + ... + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4};$

9) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + ... + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1};$

10) $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + ... + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{n}{4n+1}.$

1) Докажем тождество $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть (ЛЧ): $1$.
Правая часть (ПЧ): $\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть выполняется равенство (индукционное предположение):
$1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть: $1 + 2 + \dots + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.
Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1 + 2 + \dots + k) + (k+1)$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$.
Приведем к общему знаменателю и вынесем общий множитель $(k+1)$:
$S_{k+1} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$. Следовательно, утверждение верно для всех натуральных $n$.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $1^2 = 1$.
ПЧ: $\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1^2 + 2^2 + \dots + k^2) + (k+1)^2$.
Используя предположение:
$S_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = (k+1) \left( \frac{k(2k+1)}{6} + k+1 \right)$.
$S_{k+1} = (k+1) \frac{2k^2+k+6k+6}{6} = (k+1) \frac{2k^2+7k+6}{6}$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $2k^2+7k+6 = (k+2)(2k+3)$.
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $1^3 = 1$.
ПЧ: $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4} = 1$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1^3 + 2^3 + \dots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1^3 + 2^3 + \dots + k^3) + (k+1)^3$.
Используя предположение:
$S_{k+1} = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + k+1 \right)$.
$S_{k+1} = (k+1)^2 \frac{k^2+4k+4}{4} = (k+1)^2 \frac{(k+2)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1)$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $(2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$.
ПЧ: $1^2(2 \cdot 1^2 - 1) = 1(2-1) = 1$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1^3 + 3^3 + \dots + (2k-1)^3 = k^2(2k^2-1)$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1^3 + \dots + (2k-1)^3 + (2k+1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2-1)$.
Правая часть для $n=k+1$ равна: $(k+1)^2(2(k^2+2k+1)-1) = (k+1)^2(2k^2+4k+1)$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1^3 + \dots + (2k-1)^3) + (2(k+1)-1)^3 = k^2(2k^2-1) + (2k+1)^3$.
$S_{k+1} = 2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.
Раскроем скобки в целевом выражении:
$(k+1)^2(2k^2+4k+1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1) = 2k^4+4k^3+k^2+4k^3+8k^2+2k+2k^2+4k+1 = 2k^4+8k^3+11k^2+6k+1$.
Левая и правая части совпали.

Ответ: тождество доказано.

5) Докажем тождество $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ методом математической индукции.
Примечание: в условии задачи, вероятно, опечатка в записи начальных членов ряда. Общий член $(2n-1)^2$ задает сумму квадратов нечетных чисел ($1^2, 3^2, \dots$), а не всех натуральных чисел. Доказательство проводится для суммы квадратов нечетных чисел.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $(2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
ПЧ: $\frac{1(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1^2 + 3^2 + \dots + (2k-1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1^2 + \dots + (2k-1)^2 + (2k+1)^2 = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = \left(1^2 + \dots + (2k-1)^2\right) + (2k+1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2$.
$S_{k+1} = (2k+1) \left( \frac{k(2k-1)}{3} + 2k+1 \right) = (2k+1) \frac{2k^2-k+6k+3}{3}$.
$S_{k+1} = (2k+1) \frac{2k^2+5k+3}{3}$.
Разложим $2k^2+5k+3 = (k+1)(2k+3)$.
$S_{k+1} = \frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$, что совпадает с правой частью.

Ответ: тождество доказано.

6) Докажем тождество $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $1 \cdot (1+1) = 2$.
ПЧ: $\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1 \cdot 2 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1 \cdot 2 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1 \cdot 2 + \dots + k(k+1)) + (k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)$.
$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \left( \frac{k}{3} + 1 \right) = (k+1)(k+2) \frac{k+3}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

7) Докажем тождество $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n+1) = n(n+1)^2$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $1 \cdot (3 \cdot 1+1) = 4$.
ПЧ: $1 \cdot (1+1)^2 = 4$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1 \cdot 4 + \dots + k(3k+1) = k(k+1)^2$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1 \cdot 4 + \dots + k(3k+1) + (k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)(k+2)^2$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1 \cdot 4 + \dots + k(3k+1)) + (k+1)(3k+4) = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4)$.
$S_{k+1} = (k+1) [k(k+1) + (3k+4)] = (k+1) [k^2+k+3k+4]$.
$S_{k+1} = (k+1) (k^2+4k+4) = (k+1)(k+2)^2$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

8) Докажем тождество $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
ПЧ: $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = 6$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1 \cdot 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1 \cdot 2 \cdot 3 + \dots + (k+1)(k+2)(k+3) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1 \cdot 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1)(k+2)) + (k+1)(k+2)(k+3)$.
$S_{k+1} = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3)$.
$S_{k+1} = (k+1)(k+2)(k+3) \left(\frac{k}{4} + 1\right) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

9) Докажем тождество $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $\frac{1}{(3 \cdot 1-2)(3 \cdot 1+1)} = \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}$.
ПЧ: $\frac{1}{3 \cdot 1+1} = \frac{1}{4}$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$\frac{1}{1 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{3k+1}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $\frac{1}{1 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k+1}{3k+4}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = \left(\frac{1}{1 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}\right) + \frac{1}{(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)}$.
$S_{k+1} = \frac{k}{3k+1} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k(3k+4)+1}{(3k+1)(3k+4)}$.
$S_{k+1} = \frac{3k^2+4k+1}{(3k+1)(3k+4)}$.
Разложим числитель $3k^2+4k+1 = (k+1)(3k+1)$.
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(3k+1)}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k+1}{3k+4}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

10) Докажем тождество $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{n}{4n+1}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $\frac{1}{(4 \cdot 1-3)(4 \cdot 1+1)} = \frac{1}{1 \cdot 5} = \frac{1}{5}$.
ПЧ: $\frac{1}{4 \cdot 1+1} = \frac{1}{5}$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$\frac{1}{1 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{k}{4k+1}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $\frac{1}{1 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k+1}{4k+5}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = \left(\frac{1}{1 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}\right) + \frac{1}{(4(k+1)-3)(4(k+1)+1)}$.
$S_{k+1} = \frac{k}{4k+1} + \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k(4k+5)+1}{(4k+1)(4k+5)}$.
$S_{k+1} = \frac{4k^2+5k+1}{(4k+1)(4k+5)}$.
Разложим числитель $4k^2+5k+1 = (k+1)(4k+1)$.
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(4k+1)}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k+1}{4k+5}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.