Номер 3.17, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Упростите выражения:

1) $\frac{ap + aq - bp - bq}{ap - aq - bp + bq};$

2) $\frac{mc - nc + md - nd}{mc + nc + md + nd}.$

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{ap + aq - bp - bq}{ap - aq - bp + bq} $, разложим на множители числитель и знаменатель методом группировки.
В числителе сгруппируем слагаемые: $ (ap + aq) - (bp + bq) $. Вынесем общие множители из каждой скобки: $ a(p + q) - b(p + q) $. Теперь вынесем общий множитель $ (p + q) $: $ (a - b)(p + q) $.
В знаменателе сгруппируем слагаемые: $ (ap - aq) - (bp - bq) $. Вынесем общие множители из каждой скобки: $ a(p - q) - b(p - q) $. Теперь вынесем общий множитель $ (p - q) $: $ (a - b)(p - q) $.
Полученная дробь имеет вид: $ \frac{(a - b)(p + q)}{(a - b)(p - q)} $.
Сократим общий множитель $ (a - b) $ (при условии, что $ a \ne b $ и знаменатель не равен нулю).
В результате получаем: $ \frac{p + q}{p - q} $.
Ответ: $ \frac{p + q}{p - q} $

2) Упростим выражение $ \frac{mc - nc + md - nd}{mc + nc + md + nd} $. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе сгруппируем слагаемые: $ (mc - nc) + (md - nd) $. Вынесем общие множители: $ c(m - n) + d(m - n) $. Теперь вынесем общий множитель $ (m - n) $: $ (c + d)(m - n) $.
В знаменателе сгруппируем слагаемые: $ (mc + nc) + (md + nd) $. Вынесем общие множители: $ c(m + n) + d(m + n) $. Теперь вынесем общий множитель $ (m + n) $: $ (c + d)(m + n) $.
Подставим полученные выражения в дробь: $ \frac{(c + d)(m - n)}{(c + d)(m + n)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (c + d) $ (при условии, что $ c \ne -d $ и знаменатель не равен нулю).
Получаем упрощенное выражение: $ \frac{m - n}{m + n} $.
Ответ: $ \frac{m - n}{m + n} $