Номер 3.14, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.14. Докажите, что последовательность, заданная формулой

общего члена $x_n = \frac{3n-1}{5n+2}$, является возрастающей.

Для доказательства того, что последовательность, заданная формулой общего члена $x_n = \frac{3n-1}{5n+2}$, является возрастающей, нужно показать, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего. То есть, для любого натурального числа $n$ должно выполняться неравенство $x_{n+1} > x_n$.

Для этого рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$ и определим ее знак.

Общий член последовательности: $x_n = \frac{3n-1}{5n+2}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:$x_{n+1} = \frac{3(n+1)-1}{5(n+1)+2} = \frac{3n+3-1}{5n+5+2} = \frac{3n+2}{5n+7}$.

Теперь составим разность $x_{n+1} - x_n$:$x_{n+1} - x_n = \frac{3n+2}{5n+7} - \frac{3n-1}{5n+2}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $(5n+7)(5n+2)$:$x_{n+1} - x_n = \frac{(3n+2)(5n+2) - (3n-1)(5n+7)}{(5n+7)(5n+2)}$.

Раскроем скобки в числителе:$(3n+2)(5n+2) = 15n^2 + 6n + 10n + 4 = 15n^2 + 16n + 4$.$(3n-1)(5n+7) = 15n^2 + 21n - 5n - 7 = 15n^2 + 16n - 7$.

Подставим эти выражения в числитель разности:$(15n^2 + 16n + 4) - (15n^2 + 16n - 7) = 15n^2 + 16n + 4 - 15n^2 - 16n + 7 = 11$.

Таким образом, разность принимает вид:$x_{n+1} - x_n = \frac{11}{(5n+7)(5n+2)}$.

Оценим знак полученного выражения. Поскольку $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), то:

• Числитель равен $11$, что является положительным числом.
• Множитель в знаменателе $5n+2$ при $n \ge 1$ всегда положителен ($5 \cdot 1 + 2 = 7 > 0$).
• Множитель в знаменателе $5n+7$ при $n \ge 1$ всегда положителен ($5 \cdot 1 + 7 = 12 > 0$).

Произведение двух положительных чисел в знаменателе также является положительным числом. Следовательно, вся дробь, представляющая собой отношение положительного числителя к положительному знаменателю, всегда положительна.

Итак, мы показали, что $x_{n+1} - x_n > 0$ для любого натурального $n$. Отсюда следует, что $x_{n+1} > x_n$, что по определению означает, что последовательность является возрастающей.

Ответ: Утверждение доказано. Для всех натуральных $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} > x_n$, так как их разность $x_{n+1} - x_n = \frac{11}{(5n+7)(5n+2)}$ всегда положительна.