Номер 3.7, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.7. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) 1, 5, 9, 13, 17, ...;

2) 2, -2, 2, -2, ...;

3) $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots;$

4) $\frac{1}{4}, \frac{1}{7}, \frac{1}{10}, \frac{1}{13}, \dots;$

5) 3, 6, 12, 24, 48, ...;

6) 1, -2, 3, -4, ...;

7) $\frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{9}{27}, \frac{16}{81}, \dots;$

8) $\frac{1}{3}, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \left(\frac{3}{7}\right)^3, \left(\frac{4}{9}\right)^4, \dots$

1) Данная последовательность $1, 5, 9, 13, 17, \dots$ является арифметической прогрессией, так как разность между любым последующим и предыдущим членами постоянна. Найдем эту разность (шаг прогрессии) $d$: $d = 5 - 1 = 4$. Первый член прогрессии $a_1 = 1$. Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим наши значения: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3$.Ответ: $a_n = 4n - 3$.

2) В последовательности $2, -2, 2, -2, \dots$ модуль каждого члена равен 2, а знаки чередуются, начиная с положительного. Чередование знаков можно описать с помощью множителя $(-1)^{n+1}$ или $(-1)^{n-1}$. Для $n=1$ множитель должен быть положительным, что соответствует $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$. Таким образом, формула общего члена имеет вид: $a_n = 2 \cdot (-1)^{n+1}$.Ответ: $a_n = 2(-1)^{n+1}$.

3) Рассмотрим последовательность $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots$. Представим ее члены в виде дробей: $\frac{1}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots$. Числитель каждого члена равен 1. Знаменатели $1, 4, 9, 16, \dots$ представляют собой последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \dots$. Следовательно, знаменатель n-го члена равен $n^2$. Формула общего члена: $a_n = \frac{1}{n^2}$.Ответ: $a_n = \frac{1}{n^2}$.

4) В последовательности $\frac{1}{4}, \frac{1}{7}, \frac{1}{10}, \frac{1}{13}, \dots$ числители всех членов равны 1. Рассмотрим последовательность знаменателей: $4, 7, 10, 13, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 4$ и разностью $d = 7 - 4 = 3$. Формула n-го члена этой прогрессии знаменателей: $d_n = d_1 + (n-1)d = 4 + (n-1) \cdot 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$. Таким образом, формула общего члена исходной последовательности: $a_n = \frac{1}{3n+1}$.Ответ: $a_n = \frac{1}{3n+1}$.

5) Последовательность $3, 6, 12, 24, 48, \dots$ является геометрической прогрессией, так как отношение любого последующего члена к предыдущему постоянно. Найдем это отношение (знаменатель прогрессии) $q$: $q = \frac{6}{3} = 2$. Первый член прогрессии $a_1 = 3$. Формула общего члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим наши значения: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.Ответ: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

6) В последовательности $1, -2, 3, -4, \dots$ модуль n-го члена равен $n$. Знаки членов чередуются, начиная с положительного. Для описания чередования знаков используем множитель $(-1)^{n+1}$. Объединяя, получаем формулу общего члена: $a_n = n \cdot (-1)^{n+1}$.Ответ: $a_n = n(-1)^{n+1}$.

7) Рассмотрим последовательность $\frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{9}{27}, \frac{16}{81}, \dots$. Проанализируем числители и знаменатели отдельно. Последовательность числителей: $1, 4, 9, 16, \dots$. Это квадраты натуральных чисел, то есть n-й числитель равен $n^2$. Последовательность знаменателей: $3, 9, 27, 81, \dots$. Это степени числа 3: $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \dots$, то есть n-й знаменатель равен $3^n$. Таким образом, формула общего члена: $a_n = \frac{n^2}{3^n}$.Ответ: $a_n = \frac{n^2}{3^n}$.

8) Рассмотрим последовательность $\frac{1}{3}, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \left(\frac{3}{7}\right)^3, \left(\frac{4}{9}\right)^4, \dots$. Заметим, что показатель степени n-го члена равен $n$. Первый член можно представить в виде $(\frac{1}{3})^1$. Таким образом, общий член имеет вид $a_n = \left(\frac{N_n}{D_n}\right)^n$. Последовательность числителей в основании степени: $1, 2, 3, 4, \dots$, следовательно $N_n = n$. Последовательность знаменателей в основании степени: $3, 5, 7, 9, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $d'_1 = 3$ и разностью $d=2$. Её n-й член равен $D_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$. Объединяя все части, получаем итоговую формулу: $a_n = \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$.Ответ: $a_n = \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$.