Номер 3.2, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. Напишите первые пять членов последовательности:

1) $a_n = 2^n + \frac{1}{2^n};$

2) $x_n = 3n^2 + 2n + 1;$

3) $a_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{если } n \text{ - четное число,} \\ \frac{n-1}{n}, & \text{если } n \text{ - нечетное число;} \end{cases}$

4) $c_n = \frac{2n-1}{2n+3};$

5) $b_n = \underset{\text{n корней}}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}};$

6) $y_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n};$

7) $x_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n};$

8) $d_n = \frac{2}{(-1)^n} + 2;$

9) $b_n = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}};$

1) Для нахождения первых пяти членов последовательности $a_n = 2^n + \frac{1}{2^n}$ необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$ в формулу.

$n=1: a_1 = 2^1 + \frac{1}{2^1} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$n=2: a_2 = 2^2 + \frac{1}{2^2} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$

$n=3: a_3 = 2^3 + \frac{1}{2^3} = 8 + \frac{1}{8} = \frac{65}{8}$

$n=4: a_4 = 2^4 + \frac{1}{2^4} = 16 + \frac{1}{16} = \frac{257}{16}$

$n=5: a_5 = 2^5 + \frac{1}{2^5} = 32 + \frac{1}{32} = \frac{1025}{32}$

Ответ: $\frac{5}{2}, \frac{17}{4}, \frac{65}{8}, \frac{257}{16}, \frac{1025}{32}$.

2) Для нахождения первых пяти членов последовательности $x_n = 3n^2 + 2n + 1$ подставим значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

$n=1: x_1 = 3(1)^2 + 2(1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$

$n=2: x_2 = 3(2)^2 + 2(2) + 1 = 3 \cdot 4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17$

$n=3: x_3 = 3(3)^2 + 2(3) + 1 = 3 \cdot 9 + 6 + 1 = 27 + 6 + 1 = 34$

$n=4: x_4 = 3(4)^2 + 2(4) + 1 = 3 \cdot 16 + 8 + 1 = 48 + 8 + 1 = 57$

$n=5: x_5 = 3(5)^2 + 2(5) + 1 = 3 \cdot 25 + 10 + 1 = 75 + 10 + 1 = 86$

Ответ: $6, 17, 34, 57, 86$.

3) Последовательность $a_n$ задана кусочно. Для нахождения ее членов нужно определить, является ли номер члена $n$ четным или нечетным.

$n=1$ (нечетное): $a_1 = \frac{n-1}{n} = \frac{1-1}{1} = 0$

$n=2$ (четное): $a_2 = \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$

$n=3$ (нечетное): $a_3 = \frac{n-1}{n} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$

$n=4$ (четное): $a_4 = \frac{1}{n} = \frac{1}{4}$

$n=5$ (нечетное): $a_5 = \frac{n-1}{n} = \frac{5-1}{5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{4}{5}$.

4) Для нахождения первых пяти членов последовательности $c_n = \frac{2n-1}{2n+3}$ подставим значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

$n=1: c_1 = \frac{2(1)-1}{2(1)+3} = \frac{1}{5}$

$n=2: c_2 = \frac{2(2)-1}{2(2)+3} = \frac{3}{7}$

$n=3: c_3 = \frac{2(3)-1}{2(3)+3} = \frac{5}{9}$

$n=4: c_4 = \frac{2(4)-1}{2(4)+3} = \frac{7}{11}$

$n=5: c_5 = \frac{2(5)-1}{2(5)+3} = \frac{9}{13}$

Ответ: $\frac{1}{5}, \frac{3}{7}, \frac{5}{9}, \frac{7}{11}, \frac{9}{13}$.

5) Последовательность $b_n$ задана рекуррентно. Каждый следующий член получается добавлением числа 2 под внешний корень предыдущего члена.

$b_1 = \sqrt{2}$

$b_2 = \sqrt{2+\sqrt{2}}$

$b_3 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

$b_4 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

$b_5 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$

Ответ: $\sqrt{2}, \sqrt{2+\sqrt{2}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$.

6) Последовательность $y_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}$ представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии. Проще найти каждый следующий член, прибавляя к предыдущему очередное слагаемое.

$y_1 = \frac{1}{2}$

$y_2 = y_1 + \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$y_3 = y_2 + \frac{1}{2^3} = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

$y_4 = y_3 + \frac{1}{2^4} = \frac{7}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$y_5 = y_4 + \frac{1}{2^5} = \frac{15}{16} + \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}$.

7) Для нахождения первых пяти членов последовательности $x_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ подставим значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

$n=1: x_1 = \sqrt{1+1} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1$

$n=2: x_2 = \sqrt{2+1} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$n=3: x_3 = \sqrt{3+1} - \sqrt{3} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$

$n=4: x_4 = \sqrt{4+1} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2$

$n=5: x_5 = \sqrt{5+1} - \sqrt{5} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{2}-1, \sqrt{3}-\sqrt{2}, 2-\sqrt{3}, \sqrt{5}-2, \sqrt{6}-\sqrt{5}$.

8) В последовательности $d_n = \frac{2}{(-1)^n} + 2$ значение знаменателя зависит от четности $n$.

$n=1$ (нечетное): $d_1 = \frac{2}{(-1)^1} + 2 = \frac{2}{-1} + 2 = -2+2 = 0$

$n=2$ (четное): $d_2 = \frac{2}{(-1)^2} + 2 = \frac{2}{1} + 2 = 2+2 = 4$

$n=3$ (нечетное): $d_3 = \frac{2}{(-1)^3} + 2 = \frac{2}{-1} + 2 = -2+2 = 0$

$n=4$ (четное): $d_4 = \frac{2}{(-1)^4} + 2 = \frac{2}{1} + 2 = 2+2 = 4$

$n=5$ (нечетное): $d_5 = \frac{2}{(-1)^5} + 2 = \frac{2}{-1} + 2 = -2+2 = 0$

Ответ: $0, 4, 0, 4, 0$.

9) Последовательность $b_n = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}}$ представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии. Найдем каждый следующий член, прибавляя к предыдущему очередное слагаемое.

$b_1 = 1$

$b_2 = b_1 + \frac{(-1)^{2-1}}{3^{2-1}} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$b_3 = b_2 + \frac{(-1)^{3-1}}{3^{3-1}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{6+1}{9} = \frac{7}{9}$

$b_4 = b_3 + \frac{(-1)^{4-1}}{3^{4-1}} = \frac{7}{9} - \frac{1}{27} = \frac{21-1}{27} = \frac{20}{27}$

$b_5 = b_4 + \frac{(-1)^{5-1}}{3^{5-1}} = \frac{20}{27} + \frac{1}{81} = \frac{60+1}{81} = \frac{61}{81}$

Ответ: $1, \frac{2}{3}, \frac{7}{9}, \frac{20}{27}, \frac{61}{81}$.