Страница 63 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.1. Напишите первые пять членов последовательности:

1) $x_n=2n-1$;

2) $x_n=n^2+1$;

3) $x_n=\frac{1}{n+1}$;

4) $y_n=(-1)^n$;

5) $y_n=2^{n-3}$;

6) $a_n=0.5 \cdot 4^n$;

7) $b_n=\frac{2n-1}{2n+1}$;

8) $c_n=\frac{1}{2^n}$.

1) Для нахождения первых пяти членов последовательности, заданной формулой $x_n=2n-1$, необходимо подставить значения $n$ от 1 до 5:
$x_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
$x_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$x_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
$x_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$
$x_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$
Ответ: 1, 3, 5, 7, 9.

2) Для последовательности $x_n=n^2+1$ первые пять членов вычисляются следующим образом:
$x_1 = 1^2 + 1 = 2$
$x_2 = 2^2 + 1 = 5$
$x_3 = 3^2 + 1 = 10$
$x_4 = 4^2 + 1 = 17$
$x_5 = 5^2 + 1 = 26$
Ответ: 2, 5, 10, 17, 26.

3) Для последовательности $x_n=\frac{1}{n+1}$ найдем первые пять членов:
$x_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$
$x_3 = \frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}$
$x_4 = \frac{1}{4+1} = \frac{1}{5}$
$x_5 = \frac{1}{5+1} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}$.

4) Для последовательности $y_n=(-1)^n$ первые пять членов равны:
$y_1 = (-1)^1 = -1$
$y_2 = (-1)^2 = 1$
$y_3 = (-1)^3 = -1$
$y_4 = (-1)^4 = 1$
$y_5 = (-1)^5 = -1$
Ответ: -1, 1, -1, 1, -1.

5) Для последовательности $y_n=2^{n-3}$ найдем первые пять членов:
$y_1 = 2^{1-3} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
$y_2 = 2^{2-3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
$y_3 = 2^{3-3} = 2^0 = 1$
$y_4 = 2^{4-3} = 2^1 = 2$
$y_5 = 2^{5-3} = 2^2 = 4$
Ответ: $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4$.

6) Для последовательности $a_n=0,5 \cdot 4^n$ первые пять членов вычисляются так:
$a_1 = 0,5 \cdot 4^1 = 2$
$a_2 = 0,5 \cdot 4^2 = 0,5 \cdot 16 = 8$
$a_3 = 0,5 \cdot 4^3 = 0,5 \cdot 64 = 32$
$a_4 = 0,5 \cdot 4^4 = 0,5 \cdot 256 = 128$
$a_5 = 0,5 \cdot 4^5 = 0,5 \cdot 1024 = 512$
Ответ: 2, 8, 32, 128, 512.

7) Для последовательности $b_n=\frac{2n-1}{2n+1}$ найдем первые пять членов:
$b_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{3}$
$b_2 = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{3}{5}$
$b_3 = \frac{2 \cdot 3 - 1}{2 \cdot 3 + 1} = \frac{5}{7}$
$b_4 = \frac{2 \cdot 4 - 1}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{7}{9}$
$b_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{2 \cdot 5 + 1} = \frac{9}{11}$
Ответ: $\frac{1}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{7}, \frac{7}{9}, \frac{9}{11}$.

8) Для последовательности $c_n=\frac{1}{2^n}$ первые пять членов равны:
$c_1 = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$
$c_2 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
$c_3 = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$c_4 = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
$c_5 = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}$.

3.2. Напишите первые пять членов последовательности:

1) $a_n = 2^n + \frac{1}{2^n};$

2) $x_n = 3n^2 + 2n + 1;$

3) $a_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{если } n \text{ - четное число,} \\ \frac{n-1}{n}, & \text{если } n \text{ - нечетное число;} \end{cases}$

4) $c_n = \frac{2n-1}{2n+3};$

5) $b_n = \underset{\text{n корней}}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}};$

6) $y_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n};$

7) $x_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n};$

8) $d_n = \frac{2}{(-1)^n} + 2;$

9) $b_n = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}};$

1) Для нахождения первых пяти членов последовательности $a_n = 2^n + \frac{1}{2^n}$ необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$ в формулу.

$n=1: a_1 = 2^1 + \frac{1}{2^1} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$n=2: a_2 = 2^2 + \frac{1}{2^2} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$

$n=3: a_3 = 2^3 + \frac{1}{2^3} = 8 + \frac{1}{8} = \frac{65}{8}$

$n=4: a_4 = 2^4 + \frac{1}{2^4} = 16 + \frac{1}{16} = \frac{257}{16}$

$n=5: a_5 = 2^5 + \frac{1}{2^5} = 32 + \frac{1}{32} = \frac{1025}{32}$

Ответ: $\frac{5}{2}, \frac{17}{4}, \frac{65}{8}, \frac{257}{16}, \frac{1025}{32}$.

2) Для нахождения первых пяти членов последовательности $x_n = 3n^2 + 2n + 1$ подставим значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

$n=1: x_1 = 3(1)^2 + 2(1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$

$n=2: x_2 = 3(2)^2 + 2(2) + 1 = 3 \cdot 4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17$

$n=3: x_3 = 3(3)^2 + 2(3) + 1 = 3 \cdot 9 + 6 + 1 = 27 + 6 + 1 = 34$

$n=4: x_4 = 3(4)^2 + 2(4) + 1 = 3 \cdot 16 + 8 + 1 = 48 + 8 + 1 = 57$

$n=5: x_5 = 3(5)^2 + 2(5) + 1 = 3 \cdot 25 + 10 + 1 = 75 + 10 + 1 = 86$

Ответ: $6, 17, 34, 57, 86$.

3) Последовательность $a_n$ задана кусочно. Для нахождения ее членов нужно определить, является ли номер члена $n$ четным или нечетным.

$n=1$ (нечетное): $a_1 = \frac{n-1}{n} = \frac{1-1}{1} = 0$

$n=2$ (четное): $a_2 = \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$

$n=3$ (нечетное): $a_3 = \frac{n-1}{n} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$

$n=4$ (четное): $a_4 = \frac{1}{n} = \frac{1}{4}$

$n=5$ (нечетное): $a_5 = \frac{n-1}{n} = \frac{5-1}{5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{4}{5}$.

4) Для нахождения первых пяти членов последовательности $c_n = \frac{2n-1}{2n+3}$ подставим значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

$n=1: c_1 = \frac{2(1)-1}{2(1)+3} = \frac{1}{5}$

$n=2: c_2 = \frac{2(2)-1}{2(2)+3} = \frac{3}{7}$

$n=3: c_3 = \frac{2(3)-1}{2(3)+3} = \frac{5}{9}$

$n=4: c_4 = \frac{2(4)-1}{2(4)+3} = \frac{7}{11}$

$n=5: c_5 = \frac{2(5)-1}{2(5)+3} = \frac{9}{13}$

Ответ: $\frac{1}{5}, \frac{3}{7}, \frac{5}{9}, \frac{7}{11}, \frac{9}{13}$.

5) Последовательность $b_n$ задана рекуррентно. Каждый следующий член получается добавлением числа 2 под внешний корень предыдущего члена.

$b_1 = \sqrt{2}$

$b_2 = \sqrt{2+\sqrt{2}}$

$b_3 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

$b_4 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

$b_5 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$

Ответ: $\sqrt{2}, \sqrt{2+\sqrt{2}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$.

6) Последовательность $y_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}$ представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии. Проще найти каждый следующий член, прибавляя к предыдущему очередное слагаемое.

$y_1 = \frac{1}{2}$

$y_2 = y_1 + \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$y_3 = y_2 + \frac{1}{2^3} = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

$y_4 = y_3 + \frac{1}{2^4} = \frac{7}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$y_5 = y_4 + \frac{1}{2^5} = \frac{15}{16} + \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}$.

7) Для нахождения первых пяти членов последовательности $x_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ подставим значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

$n=1: x_1 = \sqrt{1+1} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1$

$n=2: x_2 = \sqrt{2+1} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$n=3: x_3 = \sqrt{3+1} - \sqrt{3} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$

$n=4: x_4 = \sqrt{4+1} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2$

$n=5: x_5 = \sqrt{5+1} - \sqrt{5} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{2}-1, \sqrt{3}-\sqrt{2}, 2-\sqrt{3}, \sqrt{5}-2, \sqrt{6}-\sqrt{5}$.

8) В последовательности $d_n = \frac{2}{(-1)^n} + 2$ значение знаменателя зависит от четности $n$.

$n=1$ (нечетное): $d_1 = \frac{2}{(-1)^1} + 2 = \frac{2}{-1} + 2 = -2+2 = 0$

$n=2$ (четное): $d_2 = \frac{2}{(-1)^2} + 2 = \frac{2}{1} + 2 = 2+2 = 4$

$n=3$ (нечетное): $d_3 = \frac{2}{(-1)^3} + 2 = \frac{2}{-1} + 2 = -2+2 = 0$

$n=4$ (четное): $d_4 = \frac{2}{(-1)^4} + 2 = \frac{2}{1} + 2 = 2+2 = 4$

$n=5$ (нечетное): $d_5 = \frac{2}{(-1)^5} + 2 = \frac{2}{-1} + 2 = -2+2 = 0$

Ответ: $0, 4, 0, 4, 0$.

9) Последовательность $b_n = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}}$ представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии. Найдем каждый следующий член, прибавляя к предыдущему очередное слагаемое.

$b_1 = 1$

$b_2 = b_1 + \frac{(-1)^{2-1}}{3^{2-1}} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$b_3 = b_2 + \frac{(-1)^{3-1}}{3^{3-1}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{6+1}{9} = \frac{7}{9}$

$b_4 = b_3 + \frac{(-1)^{4-1}}{3^{4-1}} = \frac{7}{9} - \frac{1}{27} = \frac{21-1}{27} = \frac{20}{27}$

$b_5 = b_4 + \frac{(-1)^{5-1}}{3^{5-1}} = \frac{20}{27} + \frac{1}{81} = \frac{60+1}{81} = \frac{61}{81}$

Ответ: $1, \frac{2}{3}, \frac{7}{9}, \frac{20}{27}, \frac{61}{81}$.