Страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.11. Напишите члены $a_1$, $a_2$, $a_{n+1}$, $a_{2n}$, если $a_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{n^2}$.

a₁: Для нахождения первого члена последовательности $a_1$, подставляем $n=1$ в заданную формулу $a_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$. При $n=1$ сумма состоит только из первого члена, который равен $\frac{1}{1^2} = 1$.
Ответ: $a_1 = 1$.

a₂: Для нахождения второго члена $a_2$ подставляем $n=2$ в общую формулу. Сумма будет включать члены до $\frac{1}{2^2}$ включительно: $a_2 = 1 + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
Ответ: $a_2 = \frac{5}{4}$.

aₙ₊₁: Чтобы найти член $a_{n+1}$, необходимо в общей формуле для $a_n$ заменить индекс $n$ на $n+1$. Это означает, что сумма будет продолжаться до слагаемого $\frac{1}{(n+1)^2}$. Таким образом, выражение для $a_{n+1}$ будет включать все слагаемые из $a_n$ и дополнительно член $\frac{1}{(n+1)^2}$.
Ответ: $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}$.

a₂ₙ: Аналогично, для нахождения члена $a_{2n}$ мы заменяем индекс $n$ на $2n$ в общей формуле. Сумма будет содержать слагаемые с квадратами знаменателей от 1 до $2n$.
Ответ: $a_{2n} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{(2n)^2}$.

3.12. Напишите формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентной формулой ${$x_n$}$, и укажите ее первые 4 члена:

1) $x_1=3, x_{n+1}=2x_n, n \ge 1$;

2) $x_1=1, x_{n+1}=1-x_n, n \ge 1$.

1) Для последовательности, заданной рекуррентной формулой $x_1=3, x_{n+1}=2x_n, n \ge 1$.

Сначала найдем первые четыре члена последовательности, последовательно вычисляя каждый следующий член через предыдущий:
$x_1 = 3$ (задано)
$x_2 = 2x_1 = 2 \cdot 3 = 6$
$x_3 = 2x_2 = 2 \cdot 6 = 12$
$x_4 = 2x_3 = 2 \cdot 12 = 24$
Таким образом, первые четыре члена последовательности: 3, 6, 12, 24.

Теперь найдем формулу общего члена. Рекуррентное соотношение $x_{n+1}=2x_n$ означает, что каждый член последовательности в 2 раза больше предыдущего. Это определение геометрической прогрессии со знаменателем $q=2$. Первый член прогрессии $x_1=3$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив известные значения, получаем искомую формулу общего члена: $x_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

Ответ: Формула общего члена: $x_n = 3 \cdot 2^{n-1}$. Первые четыре члена: 3, 6, 12, 24.

2) Для последовательности, заданной рекуррентной формулой $x_1=1, x_{n+1}=1-x_n, n \ge 1$.

Сначала найдем первые четыре члена последовательности:
$x_1 = 1$ (задано)
$x_2 = 1 - x_1 = 1 - 1 = 0$
$x_3 = 1 - x_2 = 1 - 0 = 1$
$x_4 = 1 - x_3 = 1 - 1 = 0$
Таким образом, первые четыре члена последовательности: 1, 0, 1, 0.

Теперь найдем формулу общего члена. Мы видим, что значения членов последовательности чередуются: 1, 0, 1, 0, ... . Это периодическая последовательность с периодом 2. Для всех нечетных номеров $n$ член последовательности $x_n=1$, а для всех четных номеров $n$ член $x_n=0$. Такую зависимость можно выразить единой формулой. Например, с помощью выражения $(-1)^n$, которое равно -1 для нечетных $n$ и 1 для четных $n$. Формула $x_n = \frac{1 - (-1)^n}{2}$ дает нужный результат:
При нечетном $n$: $x_n = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
При четном $n$: $x_n = \frac{1 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Эта формула полностью описывает последовательность.

Ответ: Формула общего члена: $x_n = \frac{1 - (-1)^n}{2}$. Первые четыре члена: 1, 0, 1, 0.

3.13. Напишите члены $a_1$, $a_{n+1}$, $a_{n-1}$, если $a_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

Общий член последовательности $a_n$ задан формулой в виде суммы:

$a_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

Для удобства дальнейших вычислений, найдем формулу для $a_n$ в замкнутом (не в виде суммы) виде. Для этого представим общий член суммы в виде разности двух дробей. Используем метод разложения на простейшие дроби:

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1} = \frac{A(2k+1) + B(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}$

Приравнивая числители, получаем тождество: $1 = A(2k+1) + B(2k-1)$.

Подставим $k = 1/2$, тогда $1 = A(2 \cdot 1/2+1) + B(0)$, откуда $1 = 2A$ и $A=1/2$.

Подставим $k = -1/2$, тогда $1 = A(0) + B(2 \cdot (-1/2)-1)$, откуда $1 = -2B$ и $B=-1/2$.

Таким образом, общий член суммы можно записать как:

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

Теперь сумма $a_n$ становится телескопической, то есть большинство слагаемых взаимно уничтожаются:

$a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$

После сокращения остаются только первое и последнее слагаемые в скобках:

$a_n = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n+1-1}{2n+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$

Теперь, имея как исходное определение, так и упрощенную формулу, найдем требуемые члены последовательности.

a₁

Для нахождения $a_1$, подставим $n=1$ в исходную формулу. Сумма будет состоять только из одного слагаемого (при $k=1$):

$a_1 = \frac{1}{(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$

Проверка по упрощенной формуле $a_n = \frac{n}{2n+1}$ дает тот же результат:

$a_1 = \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{3}$

Ответ: $a_1 = \frac{1}{3}$.

a_n+1

Чтобы найти $a_{n+1}$, нужно в определении $a_n$ заменить $n$ на $n+1$. Сумма будет содержать $n+1$ слагаемое, то есть к сумме $a_n$ добавится еще один член:

$a_{n+1} = \underbrace{\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}_{a_n} + \frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}$

Упростим последнее слагаемое:

$\frac{1}{(2n+2-1)(2n+2+1)} = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

Таким образом, $a_{n+1}$ в виде суммы выглядит так:

$a_{n+1} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

Используя упрощенную формулу $a_n = \frac{n}{2n+1}$, найдем $a_{n+1}$:

$a_{n+1} = \frac{n+1}{2(n+1)+1} = \frac{n+1}{2n+3}$

Ответ: $a_{n+1} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$, что в упрощенном виде равно $a_{n+1} = \frac{n+1}{2n+3}$.

a_n-1

Для нахождения $a_{n-1}$ (определенного при $n \ge 2$), нужно в формуле для $a_n$ заменить $n$ на $n-1$. Сумма будет состоять из $n-1$ слагаемых, то есть это будет сумма $a_n$ без ее последнего члена. Последний член в сумме для $a_{n-1}$ будет иметь вид:

$\frac{1}{(2(n-1)-1)(2(n-1)+1)} = \frac{1}{(2n-3)(2n-1)}$

Таким образом, выражение для $a_{n-1}$ в виде суммы:

$a_{n-1} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-3)(2n-1)}$

Используя упрощенную формулу $a_n = \frac{n}{2n+1}$, найдем $a_{n-1}$ (при $n \ge 2$):

$a_{n-1} = \frac{n-1}{2(n-1)+1} = \frac{n-1}{2n-1}$

Ответ: $a_{n-1} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-3)(2n-1)}$ (при $n \ge 2$), что в упрощенном виде равно $a_{n-1} = \frac{n-1}{2n-1}$.

3.14. Докажите, что последовательность, заданная формулой

общего члена $x_n = \frac{3n-1}{5n+2}$, является возрастающей.

Для доказательства того, что последовательность, заданная формулой общего члена $x_n = \frac{3n-1}{5n+2}$, является возрастающей, нужно показать, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего. То есть, для любого натурального числа $n$ должно выполняться неравенство $x_{n+1} > x_n$.

Для этого рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$ и определим ее знак.

Общий член последовательности: $x_n = \frac{3n-1}{5n+2}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:$x_{n+1} = \frac{3(n+1)-1}{5(n+1)+2} = \frac{3n+3-1}{5n+5+2} = \frac{3n+2}{5n+7}$.

Теперь составим разность $x_{n+1} - x_n$:$x_{n+1} - x_n = \frac{3n+2}{5n+7} - \frac{3n-1}{5n+2}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $(5n+7)(5n+2)$:$x_{n+1} - x_n = \frac{(3n+2)(5n+2) - (3n-1)(5n+7)}{(5n+7)(5n+2)}$.

Раскроем скобки в числителе:$(3n+2)(5n+2) = 15n^2 + 6n + 10n + 4 = 15n^2 + 16n + 4$.$(3n-1)(5n+7) = 15n^2 + 21n - 5n - 7 = 15n^2 + 16n - 7$.

Подставим эти выражения в числитель разности:$(15n^2 + 16n + 4) - (15n^2 + 16n - 7) = 15n^2 + 16n + 4 - 15n^2 - 16n + 7 = 11$.

Таким образом, разность принимает вид:$x_{n+1} - x_n = \frac{11}{(5n+7)(5n+2)}$.

Оценим знак полученного выражения. Поскольку $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), то:

• Числитель равен $11$, что является положительным числом.
• Множитель в знаменателе $5n+2$ при $n \ge 1$ всегда положителен ($5 \cdot 1 + 2 = 7 > 0$).
• Множитель в знаменателе $5n+7$ при $n \ge 1$ всегда положителен ($5 \cdot 1 + 7 = 12 > 0$).

Произведение двух положительных чисел в знаменателе также является положительным числом. Следовательно, вся дробь, представляющая собой отношение положительного числителя к положительному знаменателю, всегда положительна.

Итак, мы показали, что $x_{n+1} - x_n > 0$ для любого натурального $n$. Отсюда следует, что $x_{n+1} > x_n$, что по определению означает, что последовательность является возрастающей.

Ответ: Утверждение доказано. Для всех натуральных $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} > x_n$, так как их разность $x_{n+1} - x_n = \frac{11}{(5n+7)(5n+2)}$ всегда положительна.

3.15. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена $a_n = \frac{n+1}{2n+1}$, является убывающей.

Для того чтобы доказать, что последовательность является убывающей, необходимо показать, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. То есть для любого натурального числа $n$ должно выполняться неравенство $a_{n+1} < a_n$. Это эквивалентно тому, что разность $a_{n+1} - a_n$ отрицательна.

Последовательность задана формулой общего члена $a_n = \frac{n+1}{2n+1}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$: $a_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{2(n+1)+1} = \frac{n+2}{2n+3}$.

Теперь рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$: $a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{2n+3} - \frac{n+1}{2n+1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2n+3)(2n+1)$: $a_{n+1} - a_n = \frac{(n+2)(2n+1) - (n+1)(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}$.

Раскроем скобки в числителе: $(n+2)(2n+1) = 2n^2 + n + 4n + 2 = 2n^2 + 5n + 2$. $(n+1)(2n+3) = 2n^2 + 3n + 2n + 3 = 2n^2 + 5n + 3$.

Подставим полученные выражения обратно в разность: $a_{n+1} - a_n = \frac{(2n^2 + 5n + 2) - (2n^2 + 5n + 3)}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{2n^2 + 5n + 2 - 2n^2 - 5n - 3}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{-1}{(2n+3)(2n+1)}$.

Проанализируем знак полученного выражения. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \geq 1$. При $n \geq 1$ выражения $2n+3$ и $2n+1$ являются положительными. Следовательно, их произведение $(2n+3)(2n+1)$ также положительно. Числитель дроби равен $-1$, то есть он отрицателен.

Таким образом, разность $a_{n+1} - a_n = \frac{-1}{(2n+3)(2n+1)}$ является отрицательной для любого натурального $n$, так как это частное от деления отрицательного числа на положительное.

Поскольку $a_{n+1} - a_n < 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$, то $a_{n+1} < a_n$. Это по определению означает, что последовательность является убывающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.16. При каких значениях $a$ и $b$ последовательность, заданная формулой общего члена $x_n = \frac{an+2}{bn+1}$, является возрастающей или убывающей?

Для того чтобы определить, при каких значениях параметров $a$ и $b$ последовательность является возрастающей или убывающей, необходимо исследовать знак разности $x_{n+1} - x_n$ для всех натуральных $n \ge 1$.

Общий член последовательности задан формулой $x_n = \frac{an+2}{bn+1}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$x_{n+1} = \frac{a(n+1)+2}{b(n+1)+1} = \frac{an+a+2}{bn+b+1}$

Составим разность $x_{n+1} - x_n$:

$x_{n+1} - x_n = \frac{an+a+2}{bn+b+1} - \frac{an+2}{bn+1}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$x_{n+1} - x_n = \frac{(an+a+2)(bn+1) - (an+2)(bn+b+1)}{(bn+b+1)(bn+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$(an+a+2)(bn+1) = abn^2 + an + abn + a + 2bn + 2$

$(an+2)(bn+b+1) = abn^2 + abn + an + 2bn + 2b + 2$

Числитель равен:

$(abn^2 + an + abn + a + 2bn + 2) - (abn^2 + abn + an + 2bn + 2b + 2) = a - 2b$

Таким образом, разность имеет вид:

$x_{n+1} - x_n = \frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)}$

Для того чтобы последовательность была монотонной (строго возрастающей или строго убывающей), знак разности $x_{n+1} - x_n$ должен быть постоянным для всех $n \ge 1$. Это зависит от знака числителя $(a-2b)$ и знака знаменателя $((bn+1)(bn+b+1))$.

Знаменатель не должен обращаться в ноль и должен сохранять знак для всех $n \ge 1$. Рассмотрим функцию $f(n) = bn+1$.

1. Если $b=0$, последовательность принимает вид $x_n = an+2$. Это арифметическая прогрессия. Она возрастает при $a>0$ и убывает при $a<0$.

2. Если $b>0$, то $bn+1 > 0$ для всех $n \ge 1$. Знаменатель $(bn+1)(b(n+1)+1)$ всегда положителен.

3. Если $b<0$, то $bn+1$ — убывающая функция. Чтобы она сохраняла знак для всех $n \ge 1$, ее корень $n = -1/b$ должен лежать вне отрезка $[1, \infty)$. То есть, должно выполняться условие $-1/b < 1$. Так как $b<0$, умножение на $b$ меняет знак неравенства: $-1 > b$, или $b < -1$. В этом случае $bn+1 < 0$ для всех $n \ge 1$, и знаменатель, как произведение двух отрицательных чисел, будет положителен.

Если же $-1 \le b < 0$, то $bn+1$ будет менять знак (или обращаться в ноль) для $n \ge 1$, и последовательность не будет монотонной.

Итак, последовательность может быть монотонной только при $b \ge 0$ или $b < -1$. В этих случаях знаменатель положителен.

Возрастающая последовательность

Последовательность является возрастающей, если $x_{n+1} - x_n > 0$.

$\frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)} > 0$

Поскольку при $b>0$ или $b<-1$ знаменатель положителен, то для возрастания последовательности необходимо, чтобы числитель был положителен: $a-2b > 0$, то есть $a > 2b$.

В случае $b=0$, как мы выяснили, последовательность возрастает при $a>0$. Это условие является частным случаем $a>2b$ при $b=0$.

Таким образом, объединяя условия, получаем, что последовательность возрастает, если выполнены следующие условия:

$(b \ge 0 \text{ и } a > 2b)$ или $(b < -1 \text{ и } a > 2b)$.

Ответ: Последовательность является возрастающей при $(b \ge 0 \text{ и } a > 2b) \text{ или } (b < -1 \text{ и } a > 2b)$.

Убывающая последовательность

Последовательность является убывающей, если $x_{n+1} - x_n < 0$.

$\frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)} < 0$

При $b>0$ или $b<-1$ знаменатель положителен, следовательно, для убывания последовательности необходимо, чтобы числитель был отрицателен: $a-2b < 0$, то есть $a < 2b$.

В случае $b=0$, последовательность убывает при $a<0$. Это условие является частным случаем $a<2b$ при $b=0$.

Таким образом, объединяя условия, получаем, что последовательность убывает, если выполнены следующие условия:

$(b \ge 0 \text{ и } a < 2b)$ или $(b < -1 \text{ и } a < 2b)$.

Ответ: Последовательность является убывающей при $(b \ge 0 \text{ и } a < 2b) \text{ или } (b < -1 \text{ и } a < 2b)$.