Номер 3.13, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.13. Напишите члены $a_1$, $a_{n+1}$, $a_{n-1}$, если $a_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

Общий член последовательности $a_n$ задан формулой в виде суммы:

$a_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

Для удобства дальнейших вычислений, найдем формулу для $a_n$ в замкнутом (не в виде суммы) виде. Для этого представим общий член суммы в виде разности двух дробей. Используем метод разложения на простейшие дроби:

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1} = \frac{A(2k+1) + B(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}$

Приравнивая числители, получаем тождество: $1 = A(2k+1) + B(2k-1)$.

Подставим $k = 1/2$, тогда $1 = A(2 \cdot 1/2+1) + B(0)$, откуда $1 = 2A$ и $A=1/2$.

Подставим $k = -1/2$, тогда $1 = A(0) + B(2 \cdot (-1/2)-1)$, откуда $1 = -2B$ и $B=-1/2$.

Таким образом, общий член суммы можно записать как:

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

Теперь сумма $a_n$ становится телескопической, то есть большинство слагаемых взаимно уничтожаются:

$a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$

После сокращения остаются только первое и последнее слагаемые в скобках:

$a_n = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n+1-1}{2n+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$

Теперь, имея как исходное определение, так и упрощенную формулу, найдем требуемые члены последовательности.

a₁

Для нахождения $a_1$, подставим $n=1$ в исходную формулу. Сумма будет состоять только из одного слагаемого (при $k=1$):

$a_1 = \frac{1}{(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$

Проверка по упрощенной формуле $a_n = \frac{n}{2n+1}$ дает тот же результат:

$a_1 = \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{3}$

Ответ: $a_1 = \frac{1}{3}$.

a_n+1

Чтобы найти $a_{n+1}$, нужно в определении $a_n$ заменить $n$ на $n+1$. Сумма будет содержать $n+1$ слагаемое, то есть к сумме $a_n$ добавится еще один член:

$a_{n+1} = \underbrace{\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}_{a_n} + \frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}$

Упростим последнее слагаемое:

$\frac{1}{(2n+2-1)(2n+2+1)} = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

Таким образом, $a_{n+1}$ в виде суммы выглядит так:

$a_{n+1} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

Используя упрощенную формулу $a_n = \frac{n}{2n+1}$, найдем $a_{n+1}$:

$a_{n+1} = \frac{n+1}{2(n+1)+1} = \frac{n+1}{2n+3}$

Ответ: $a_{n+1} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$, что в упрощенном виде равно $a_{n+1} = \frac{n+1}{2n+3}$.

a_n-1

Для нахождения $a_{n-1}$ (определенного при $n \ge 2$), нужно в формуле для $a_n$ заменить $n$ на $n-1$. Сумма будет состоять из $n-1$ слагаемых, то есть это будет сумма $a_n$ без ее последнего члена. Последний член в сумме для $a_{n-1}$ будет иметь вид:

$\frac{1}{(2(n-1)-1)(2(n-1)+1)} = \frac{1}{(2n-3)(2n-1)}$

Таким образом, выражение для $a_{n-1}$ в виде суммы:

$a_{n-1} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-3)(2n-1)}$

Используя упрощенную формулу $a_n = \frac{n}{2n+1}$, найдем $a_{n-1}$ (при $n \ge 2$):

$a_{n-1} = \frac{n-1}{2(n-1)+1} = \frac{n-1}{2n-1}$

Ответ: $a_{n-1} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-3)(2n-1)}$ (при $n \ge 2$), что в упрощенном виде равно $a_{n-1} = \frac{n-1}{2n-1}$.