Номер 3.10, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.10. Определите, является ли последовательность возрастающей, убывающей, ограниченной сверху или снизу:

1) $a_n = \frac{1}{n^2 + 1}$;

2) $x_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$;

3) $y_n = (-0,5)^n$;

4) $u_n = \frac{2n^2 + 1}{3n^2}$;

5) $b_n = \frac{n^2 - 1}{2n}$;

6) $c_n = \frac{(-1)^n}{n}$;

7) $x_n = \frac{2n^2 + 1}{4n^2 + 5}$;

8) $a_n = \frac{2n^2 + 1}{n^2}$;

9) $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 1}$;

10) $b_n = \frac{2n + 1}{2^n}$;

11) $z_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$;

12) $p_n = 1 + (-1)^n$.

1) $a_n = \frac{1}{n^2 + 1}$

Для исследования на монотонность рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)^2 + 1} - \frac{1}{n^2 + 1} = \frac{1}{n^2 + 2n + 2} - \frac{1}{n^2 + 1} = \frac{n^2 + 1 - (n^2 + 2n + 2)}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)} = \frac{-2n - 1}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)}$.
Так как при $n \ge 1$ числитель $-2n - 1 < 0$, а знаменатель $(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1) > 0$, то $a_{n+1} - a_n < 0$. Следовательно, последовательность является убывающей.
Для исследования на ограниченность заметим, что $n^2 + 1 > 0$, поэтому $a_n = \frac{1}{n^2 + 1} > 0$. Последовательность ограничена снизу числом 0.
Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $a_1 = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$. Таким образом, $0 < a_n \le \frac{1}{2}$.
Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу.

2) $x_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$

Преобразуем выражение для n-го члена: $x_n = \frac{2^n}{2^n} - \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}$.
Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$:
$x_{n+1} - x_n = \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) - \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{2}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{n+1}}$.
Так как $2^{n+1} > 0$ при $n \ge 1$, то $x_{n+1} - x_n > 0$. Следовательно, последовательность является возрастающей.
Так как последовательность возрастающая, она ограничена снизу своим первым членом $x_1 = 1 - \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $\frac{1}{2^n} > 0$, то $x_n = 1 - \frac{1}{2^n} < 1$. Последовательность ограничена сверху числом 1. Таким образом, $\frac{1}{2} \le x_n < 1$.
Ответ: последовательность является возрастающей, ограниченной сверху и снизу.

3) $y_n = (-0,5)^n$

Выпишем несколько первых членов последовательности:
$y_1 = -0,5$; $y_2 = (-0,5)^2 = 0,25$; $y_3 = (-0,5)^3 = -0,125$; $y_4 = (-0,5)^4 = 0,0625$.
Так как $y_1 < y_2$ и $y_2 > y_3$, последовательность не является монотонной (ни возрастающей, ни убывающей).
Оценим модуль n-го члена: $|y_n| = |(-0,5)^n| = (0,5)^n$. Так как $0 < 0,5 < 1$, последовательность $|y_n|$ убывает, и ее наибольшее значение равно $|y_1|=0,5$. Таким образом, $|y_n| \le 0,5$, что эквивалентно $-0,5 \le y_n \le 0,5$.
Наименьшее значение последовательности $y_n$ равно $y_1 = -0,5$, а наибольшее $y_2 = 0,25$. Значит, последовательность ограничена и снизу, и сверху.
Ответ: последовательность не является монотонной, ограниченная сверху и снизу.

4) $u_n = \frac{2n^2 + 1}{3n^2}$

Преобразуем выражение для n-го члена: $u_n = \frac{2n^2}{3n^2} + \frac{1}{3n^2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3n^2}$.
Рассмотрим разность $u_{n+1} - u_n$:
$u_{n+1} - u_n = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3(n+1)^2}\right) - \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3n^2}\right) = \frac{1}{3(n+1)^2} - \frac{1}{3n^2} = \frac{n^2 - (n+1)^2}{3n^2(n+1)^2} = \frac{-2n-1}{3n^2(n+1)^2}$.
Так как при $n \ge 1$ числитель отрицателен, а знаменатель положителен, $u_{n+1} - u_n < 0$. Следовательно, последовательность является убывающей.
Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $u_1 = \frac{2(1)^2+1}{3(1)^2} = \frac{3}{3} = 1$.
Поскольку $\frac{1}{3n^2} > 0$, то $u_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3n^2} > \frac{2}{3}$. Последовательность ограничена снизу числом $\frac{2}{3}$. Таким образом, $\frac{2}{3} < u_n \le 1$.
Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу.

5) $b_n = \frac{n^2 - 1}{2n}$

Преобразуем выражение для n-го члена: $b_n = \frac{n}{2} - \frac{1}{2n}$.
Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$:
$b_{n+1} - b_n = \left(\frac{n+1}{2} - \frac{1}{2(n+1)}\right) - \left(\frac{n}{2} - \frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} - \frac{1}{2(n+1)} = \frac{n(n+1) + (n+1) - n}{2n(n+1)} = \frac{n^2+n+1}{2n(n+1)}$.
Так как при $n \ge 1$ числитель и знаменатель положительны, $b_{n+1} - b_n > 0$. Следовательно, последовательность является возрастающей.
Так как последовательность возрастающая, она ограничена снизу своим первым членом $b_1 = \frac{1^2-1}{2(1)} = 0$.
Найдем предел последовательности: $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{2} - \frac{1}{2n}\right) = \infty$. Так как предел равен бесконечности, последовательность не ограничена сверху.
Ответ: последовательность является возрастающей, ограниченной снизу.

6) $c_n = \frac{(-1)^n}{n}$

Выпишем несколько первых членов последовательности: $c_1 = -1$, $c_2 = \frac{1}{2}$, $c_3 = -\frac{1}{3}$, $c_4 = \frac{1}{4}$.
Так как $c_1 < c_2$ и $c_2 > c_3$, последовательность не является монотонной.
Рассмотрим модуль n-го члена: $|c_n| = \frac{1}{n}$. Так как $n \ge 1$, то $0 < \frac{1}{n} \le 1$. Значит, $|c_n| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le c_n \le 1$.
Наименьшее значение последовательности $c_n$ равно $c_1 = -1$, а наибольшее $c_2 = \frac{1}{2}$. Значит, последовательность ограничена и снизу, и сверху.
Ответ: последовательность не является монотонной, ограниченной сверху и снизу.

7) $x_n = \frac{2n^2 + 1}{4n^2 + 5}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{2x^2+1}{4x^2+5}$ и ее производную:
$f'(x) = \frac{4x(4x^2+5) - (2x^2+1)8x}{(4x^2+5)^2} = \frac{16x^3+20x-16x^3-8x}{(4x^2+5)^2} = \frac{12x}{(4x^2+5)^2}$.
При $x \ge 1$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает. Следовательно, последовательность $x_n$ является возрастающей.
Так как последовательность возрастающая, она ограничена снизу своим первым членом $x_1 = \frac{2(1)^2+1}{4(1)^2+5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Найдем предел последовательности: $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2+1}{4n^2+5} = \lim_{n \to \infty} \frac{2+1/n^2}{4+5/n^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Так как последовательность возрастает и стремится к $\frac{1}{2}$, она ограничена сверху этим числом. Таким образом, $\frac{1}{3} \le x_n < \frac{1}{2}$.
Ответ: последовательность является возрастающей, ограниченной сверху и снизу.

8) $a_n = \frac{2n^2 + 1}{n^2}$

Преобразуем выражение для n-го члена: $a_n = \frac{2n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2} = 2 + \frac{1}{n^2}$.
Последовательность $\frac{1}{n^2}$ является убывающей. Следовательно, последовательность $a_n = 2 + \frac{1}{n^2}$ также является убывающей.
Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $a_1 = 2 + \frac{1}{1^2} = 3$.
Поскольку $\frac{1}{n^2} > 0$, то $a_n = 2 + \frac{1}{n^2} > 2$. Последовательность ограничена снизу числом 2. Таким образом, $2 < a_n \le 3$.
Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу.

9) $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 1}$

Преобразуем выражение для n-го члена: $y_n = \frac{n^2+1-1}{n^2+1} = 1 - \frac{1}{n^2+1}$.
Последовательность $n^2+1$ возрастает, значит, последовательность $\frac{1}{n^2+1}$ убывает. Тогда последовательность $y_n = 1 - \frac{1}{n^2+1}$ является возрастающей.
Так как последовательность возрастающая, она ограничена снизу своим первым членом $y_1 = \frac{1^2}{1^2+1} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $\frac{1}{n^2+1} > 0$, то $y_n = 1 - \frac{1}{n^2+1} < 1$. Последовательность ограничена сверху числом 1. Таким образом, $\frac{1}{2} \le y_n < 1$.
Ответ: последовательность является возрастающей, ограниченной сверху и снизу.

10) $b_n = \frac{2n + 1}{2^n}$

Для исследования на монотонность рассмотрим отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ (все члены положительны):
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2(n+1)+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{2n+1} = \frac{2n+3}{2(2n+1)} = \frac{2n+3}{4n+2}$.
Сравним числитель и знаменатель: $4n+2 - (2n+3) = 2n-1$. При $n \ge 1$, $2n-1 > 0$, значит $4n+2 > 2n+3$.
Следовательно, $\frac{b_{n+1}}{b_n} < 1$, и последовательность является убывающей.
Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $b_1 = \frac{2(1)+1}{2^1} = \frac{3}{2}$.
Так как $2n+1 > 0$ и $2^n > 0$, все члены последовательности положительны, $b_n > 0$. Значит, последовательность ограничена снизу числом 0. Таким образом, $0 < b_n \le \frac{3}{2}$.
Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу.

11) $z_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

Преобразуем выражение, умножив и разделив на сопряженное:
$z_n = (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$.
Знаменатель $d_n = \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ является возрастающей последовательностью, так как функция $\sqrt{x}$ возрастает.
Поскольку знаменатель положительный и возрастает, сама дробь $z_n$ является убывающей последовательностью.
Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $z_1 = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2}-1$.
Так как знаменатель всегда положителен, $z_n > 0$. Последовательность ограничена снизу числом 0. Таким образом, $0 < z_n \le \sqrt{2}-1$.
Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу.

12) $p_n = 1 + (-1)^n$

Рассмотрим значения членов последовательности:
Если $n$ - четное число, $n=2k$, то $p_{2k} = 1 + (-1)^{2k} = 1+1=2$.
Если $n$ - нечетное число, $n=2k-1$, то $p_{2k-1} = 1 + (-1)^{2k-1} = 1-1=0$.
Последовательность принимает вид: $0, 2, 0, 2, \ldots$
Так как $p_1 < p_2$ и $p_2 > p_3$, последовательность не является монотонной.
Все члены последовательности принимают только два значения: 0 и 2. Следовательно, $0 \le p_n \le 2$. Последовательность ограничена и сверху, и снизу.
Ответ: последовательность не является монотонной, ограниченной сверху и снизу.