Страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.3. Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, кратных 3.

3.3. Последовательность натуральных чисел, кратных 3, — это последовательность, каждый член которой является натуральным числом и делится на 3 без остатка. Натуральные числа — это числа, используемые при счете: 1, 2, 3, 4, ... .

Выпишем первые несколько членов искомой последовательности, начиная с наименьшего натурального числа, кратного 3:

Первый член последовательности: $a_1 = 3$

Второй член последовательности: $a_2 = 6$

Третий член последовательности: $a_3 = 9$

Четвертый член последовательности: $a_4 = 12$

и так далее. Получаем последовательность: 3, 6, 9, 12, ... .

Наша задача — найти формулу для общего (или $n$-го) члена этой последовательности, то есть найти выражение для $a_n$ через его номер $n$.

Проанализируем связь между значением члена последовательности и его номером:

$a_1 = 3 = 3 \cdot 1$

$a_2 = 6 = 3 \cdot 2$

$a_3 = 9 = 3 \cdot 3$

$a_4 = 12 = 3 \cdot 4$

Из этого наблюдения видно, что каждый член последовательности $a_n$ равен его порядковому номеру $n$, умноженному на 3. Следовательно, формула общего члена последовательности натуральных чисел, кратных 3, имеет вид:

$a_n = 3n$

Здесь $n$ — любое натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Ответ: $a_n = 3n$

3.4. Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, кратных 7.

Натуральные числа, кратные 7, — это числа, которые получаются при умножении натуральных чисел (1, 2, 3, ...) на 7. Давайте выпишем несколько первых членов этой последовательности.

Обозначим n-й член последовательности как $a_n$, где $n$ — это порядковый номер члена в последовательности, $n \in \mathbb{N}$ (т.е. $n=1, 2, 3, \ldots$).

• При $n=1$, первый член последовательности: $a_1 = 7 \cdot 1 = 7$
• При $n=2$, второй член последовательности: $a_2 = 7 \cdot 2 = 14$
• При $n=3$, третий член последовательности: $a_3 = 7 \cdot 3 = 21$
• При $n=4$, четвертый член последовательности: $a_4 = 7 \cdot 4 = 28$

Как видно из примеров, чтобы получить n-й член последовательности, нужно число 7 умножить на его порядковый номер $n$. Таким образом, формула общего члена последовательности имеет вид:

$a_n = 7n$

Эта формула позволяет найти любой член последовательности. Например, сотый член последовательности будет равен $a_{100} = 7 \cdot 100 = 700$.

Ответ: $a_n = 7n$

3.5. Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, при делении которых на 4 в остатке получается 1.

Пусть $a_n$ — это n-й член искомой последовательности натуральных чисел. Согласно условию задачи, при делении любого члена последовательности на 4 в остатке должен получаться 1. Любое натуральное число, удовлетворяющее этому условию, можно представить с помощью формулы деления с остатком: $a = 4k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \ldots$).

Чтобы найти члены последовательности, будем подставлять последовательные значения $k$ начиная с 0:

При $k=0$ получаем первый член последовательности: $a_1 = 4 \cdot 0 + 1 = 1$.

При $k=1$ получаем второй член последовательности: $a_2 = 4 \cdot 1 + 1 = 5$.

При $k=2$ получаем третий член последовательности: $a_3 = 4 \cdot 2 + 1 = 9$.

При $k=3$ получаем четвертый член последовательности: $a_4 = 4 \cdot 3 + 1 = 13$.

Таким образом, мы получаем последовательность чисел: $1, 5, 9, 13, \ldots$. Эта последовательность является арифметической прогрессией, поскольку разность между любыми двумя последовательными членами постоянна.

Найдем первый член и разность этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 1$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$.

Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в эту формулу найденные значения $a_1=1$ и $d=4$:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 4$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_n = 1 + 4n - 4$

$a_n = 4n - 3$

Эта формула задает общий член искомой последовательности, где $n$ — номер члена последовательности, являющийся натуральным числом ($n = 1, 2, 3, \ldots$).

Ответ: $a_n = 4n - 3$

3.6. Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, при делении которых на 5 в остатке получается 2.

3.6. Пусть искомая последовательность натуральных чисел задается формулой общего члена $a_n$, где $n$ — номер члена последовательности, являющийся натуральным числом ($n=1, 2, 3, \ldots$).

По условию, каждый член последовательности $a_n$ при делении на 5 дает в остатке 2. Используя теорему о делении с остатком, мы можем записать любой такой член в виде:

$a_n = 5k + 2$

Здесь $k$ — это частное от деления, которое должно быть целым неотрицательным числом ($k = 0, 1, 2, \ldots$), чтобы $a_n$ было натуральным числом.

Найдем первые несколько членов этой последовательности, подставляя последовательные значения $k$, начиная с $k=0$:

Если $k=0$, то первый член $a_1 = 5 \cdot 0 + 2 = 2$.
Если $k=1$, то второй член $a_2 = 5 \cdot 1 + 2 = 7$.
Если $k=2$, то третий член $a_3 = 5 \cdot 2 + 2 = 12$.
Если $k=3$, то четвертый член $a_4 = 5 \cdot 3 + 2 = 17$.

Мы получили последовательность: $2, 7, 12, 17, \ldots$. Эта последовательность является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна.

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 7 - 2 = 5$.

Формула общего ($n$-го) члена арифметической прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

Подставим в эту формулу наши значения $a_1 = 2$ и $d = 5$:

$a_n = 2 + (n - 1) \cdot 5$

Теперь упростим выражение:

$a_n = 2 + 5n - 5$

$a_n = 5n - 3$

Это и есть искомая формула общего члена последовательности. Проверим ее для первых нескольких значений $n$:

При $n=1$: $a_1 = 5(1) - 3 = 2$. (При делении 2 на 5 получаем 0 и в остатке 2).
При $n=2$: $a_2 = 5(2) - 3 = 7$. (При делении 7 на 5 получаем 1 и в остатке 2).
При $n=3$: $a_3 = 5(3) - 3 = 12$. (При делении 12 на 5 получаем 2 и в остатке 2).

Формула работает корректно для всех натуральных $n$.

Ответ: $a_n = 5n - 3$, где $n \in \mathbb{N}$.

3.7. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) 1, 5, 9, 13, 17, ...;

2) 2, -2, 2, -2, ...;

3) $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots;$

4) $\frac{1}{4}, \frac{1}{7}, \frac{1}{10}, \frac{1}{13}, \dots;$

5) 3, 6, 12, 24, 48, ...;

6) 1, -2, 3, -4, ...;

7) $\frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{9}{27}, \frac{16}{81}, \dots;$

8) $\frac{1}{3}, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \left(\frac{3}{7}\right)^3, \left(\frac{4}{9}\right)^4, \dots$

1) Данная последовательность $1, 5, 9, 13, 17, \dots$ является арифметической прогрессией, так как разность между любым последующим и предыдущим членами постоянна. Найдем эту разность (шаг прогрессии) $d$: $d = 5 - 1 = 4$. Первый член прогрессии $a_1 = 1$. Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим наши значения: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3$.Ответ: $a_n = 4n - 3$.

2) В последовательности $2, -2, 2, -2, \dots$ модуль каждого члена равен 2, а знаки чередуются, начиная с положительного. Чередование знаков можно описать с помощью множителя $(-1)^{n+1}$ или $(-1)^{n-1}$. Для $n=1$ множитель должен быть положительным, что соответствует $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$. Таким образом, формула общего члена имеет вид: $a_n = 2 \cdot (-1)^{n+1}$.Ответ: $a_n = 2(-1)^{n+1}$.

3) Рассмотрим последовательность $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots$. Представим ее члены в виде дробей: $\frac{1}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots$. Числитель каждого члена равен 1. Знаменатели $1, 4, 9, 16, \dots$ представляют собой последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \dots$. Следовательно, знаменатель n-го члена равен $n^2$. Формула общего члена: $a_n = \frac{1}{n^2}$.Ответ: $a_n = \frac{1}{n^2}$.

4) В последовательности $\frac{1}{4}, \frac{1}{7}, \frac{1}{10}, \frac{1}{13}, \dots$ числители всех членов равны 1. Рассмотрим последовательность знаменателей: $4, 7, 10, 13, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 4$ и разностью $d = 7 - 4 = 3$. Формула n-го члена этой прогрессии знаменателей: $d_n = d_1 + (n-1)d = 4 + (n-1) \cdot 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$. Таким образом, формула общего члена исходной последовательности: $a_n = \frac{1}{3n+1}$.Ответ: $a_n = \frac{1}{3n+1}$.

5) Последовательность $3, 6, 12, 24, 48, \dots$ является геометрической прогрессией, так как отношение любого последующего члена к предыдущему постоянно. Найдем это отношение (знаменатель прогрессии) $q$: $q = \frac{6}{3} = 2$. Первый член прогрессии $a_1 = 3$. Формула общего члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим наши значения: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.Ответ: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

6) В последовательности $1, -2, 3, -4, \dots$ модуль n-го члена равен $n$. Знаки членов чередуются, начиная с положительного. Для описания чередования знаков используем множитель $(-1)^{n+1}$. Объединяя, получаем формулу общего члена: $a_n = n \cdot (-1)^{n+1}$.Ответ: $a_n = n(-1)^{n+1}$.

7) Рассмотрим последовательность $\frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{9}{27}, \frac{16}{81}, \dots$. Проанализируем числители и знаменатели отдельно. Последовательность числителей: $1, 4, 9, 16, \dots$. Это квадраты натуральных чисел, то есть n-й числитель равен $n^2$. Последовательность знаменателей: $3, 9, 27, 81, \dots$. Это степени числа 3: $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \dots$, то есть n-й знаменатель равен $3^n$. Таким образом, формула общего члена: $a_n = \frac{n^2}{3^n}$.Ответ: $a_n = \frac{n^2}{3^n}$.

8) Рассмотрим последовательность $\frac{1}{3}, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \left(\frac{3}{7}\right)^3, \left(\frac{4}{9}\right)^4, \dots$. Заметим, что показатель степени n-го члена равен $n$. Первый член можно представить в виде $(\frac{1}{3})^1$. Таким образом, общий член имеет вид $a_n = \left(\frac{N_n}{D_n}\right)^n$. Последовательность числителей в основании степени: $1, 2, 3, 4, \dots$, следовательно $N_n = n$. Последовательность знаменателей в основании степени: $3, 5, 7, 9, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $d'_1 = 3$ и разностью $d=2$. Её n-й член равен $D_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$. Объединяя все части, получаем итоговую формулу: $a_n = \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$.Ответ: $a_n = \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$.

3.8. Напишите члены $a_{10}$, $a_{n+1}$, $a_{2n}$, если $a_n = \frac{1}{2n+1}$.

Для решения задачи воспользуемся данной формулой n-го члена последовательности: $a_n = \frac{1}{2n + 1}$.

$a_{10}$
Чтобы найти десятый член последовательности, необходимо подставить $n = 10$ в общую формулу:
$a_{10} = \frac{1}{2 \cdot 10 + 1} = \frac{1}{20 + 1} = \frac{1}{21}$.
Ответ: $a_{10} = \frac{1}{21}$.

$a_{n+1}$
Чтобы найти член последовательности с номером $n+1$, необходимо в общей формуле заменить $n$ на выражение $(n+1)$:
$a_{n+1} = \frac{1}{2(n+1) + 1}$.
Раскроем скобки в знаменателе и упростим выражение:
$a_{n+1} = \frac{1}{2n + 2 + 1} = \frac{1}{2n + 3}$.
Ответ: $a_{n+1} = \frac{1}{2n + 3}$.

$a_{2n}$
Чтобы найти член последовательности с номером $2n$, необходимо в общей формуле заменить $n$ на выражение $(2n)$:
$a_{2n} = \frac{1}{2(2n) + 1}$.
Упростим выражение в знаменателе:
$a_{2n} = \frac{1}{4n + 1}$.
Ответ: $a_{2n} = \frac{1}{4n + 1}$.

3.9. Напишите члены $x_3$, $x_5$, $x_{n+1}$, $x_{2n+1}$, если $x_n = \frac{1}{2^n + 1}$

Для решения задачи используется общая формула n-го члена последовательности $x_n = \frac{1}{2^n + 1}$. Чтобы найти конкретный член последовательности, необходимо подставить его номер (индекс) вместо $n$ в эту формулу.

$x_3$: Для нахождения третьего члена последовательности $x_3$ подставляем в общую формулу $n=3$. Выполняем вычисления: $x_3 = \frac{1}{2^3 + 1} = \frac{1}{8 + 1} = \frac{1}{9}$. Ответ: $x_3 = \frac{1}{9}$

$x_5$: Для нахождения пятого члена последовательности $x_5$ подставляем в общую формулу $n=5$. Выполняем вычисления: $x_5 = \frac{1}{2^5 + 1} = \frac{1}{32 + 1} = \frac{1}{33}$. Ответ: $x_5 = \frac{1}{33}$

$x_{n+1}$: Чтобы найти член последовательности с индексом $n+1$, необходимо в общей формуле заменить $n$ на выражение $n+1$. В результате подстановки получаем: $x_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1} + 1}$. Ответ: $x_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1} + 1}$

$x_{2n+1}$: Для нахождения члена последовательности с индексом $2n+1$, мы заменяем в общей формуле $n$ на выражение $2n+1$. В результате подстановки получаем: $x_{2n+1} = \frac{1}{2^{2n+1} + 1}$. Ответ: $x_{2n+1} = \frac{1}{2^{2n+1} + 1}$

3.10. Определите, является ли последовательность возрастающей, убывающей, ограниченной сверху или снизу:

1) $a_n = \frac{1}{n^2 + 1}$;

2) $x_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$;

3) $y_n = (-0,5)^n$;

4) $u_n = \frac{2n^2 + 1}{3n^2}$;

5) $b_n = \frac{n^2 - 1}{2n}$;

6) $c_n = \frac{(-1)^n}{n}$;

7) $x_n = \frac{2n^2 + 1}{4n^2 + 5}$;

8) $a_n = \frac{2n^2 + 1}{n^2}$;

9) $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 1}$;

10) $b_n = \frac{2n + 1}{2^n}$;

11) $z_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$;

12) $p_n = 1 + (-1)^n$.

1) $a_n = \frac{1}{n^2 + 1}$

Для исследования на монотонность рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)^2 + 1} - \frac{1}{n^2 + 1} = \frac{1}{n^2 + 2n + 2} - \frac{1}{n^2 + 1} = \frac{n^2 + 1 - (n^2 + 2n + 2)}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)} = \frac{-2n - 1}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)}$.
Так как при $n \ge 1$ числитель $-2n - 1 < 0$, а знаменатель $(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1) > 0$, то $a_{n+1} - a_n < 0$. Следовательно, последовательность является убывающей.
Для исследования на ограниченность заметим, что $n^2 + 1 > 0$, поэтому $a_n = \frac{1}{n^2 + 1} > 0$. Последовательность ограничена снизу числом 0.
Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $a_1 = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$. Таким образом, $0 < a_n \le \frac{1}{2}$.
Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу.

2) $x_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$

Преобразуем выражение для n-го члена: $x_n = \frac{2^n}{2^n} - \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}$.
Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$:
$x_{n+1} - x_n = \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) - \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{2}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{n+1}}$.
Так как $2^{n+1} > 0$ при $n \ge 1$, то $x_{n+1} - x_n > 0$. Следовательно, последовательность является возрастающей.
Так как последовательность возрастающая, она ограничена снизу своим первым членом $x_1 = 1 - \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $\frac{1}{2^n} > 0$, то $x_n = 1 - \frac{1}{2^n} < 1$. Последовательность ограничена сверху числом 1. Таким образом, $\frac{1}{2} \le x_n < 1$.
Ответ: последовательность является возрастающей, ограниченной сверху и снизу.

3) $y_n = (-0,5)^n$

Выпишем несколько первых членов последовательности:
$y_1 = -0,5$; $y_2 = (-0,5)^2 = 0,25$; $y_3 = (-0,5)^3 = -0,125$; $y_4 = (-0,5)^4 = 0,0625$.
Так как $y_1 < y_2$ и $y_2 > y_3$, последовательность не является монотонной (ни возрастающей, ни убывающей).
Оценим модуль n-го члена: $|y_n| = |(-0,5)^n| = (0,5)^n$. Так как $0 < 0,5 < 1$, последовательность $|y_n|$ убывает, и ее наибольшее значение равно $|y_1|=0,5$. Таким образом, $|y_n| \le 0,5$, что эквивалентно $-0,5 \le y_n \le 0,5$.
Наименьшее значение последовательности $y_n$ равно $y_1 = -0,5$, а наибольшее $y_2 = 0,25$. Значит, последовательность ограничена и снизу, и сверху.
Ответ: последовательность не является монотонной, ограниченная сверху и снизу.

4) $u_n = \frac{2n^2 + 1}{3n^2}$

Преобразуем выражение для n-го члена: $u_n = \frac{2n^2}{3n^2} + \frac{1}{3n^2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3n^2}$.
Рассмотрим разность $u_{n+1} - u_n$:
$u_{n+1} - u_n = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3(n+1)^2}\right) - \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3n^2}\right) = \frac{1}{3(n+1)^2} - \frac{1}{3n^2} = \frac{n^2 - (n+1)^2}{3n^2(n+1)^2} = \frac{-2n-1}{3n^2(n+1)^2}$.
Так как при $n \ge 1$ числитель отрицателен, а знаменатель положителен, $u_{n+1} - u_n < 0$. Следовательно, последовательность является убывающей.
Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $u_1 = \frac{2(1)^2+1}{3(1)^2} = \frac{3}{3} = 1$.
Поскольку $\frac{1}{3n^2} > 0$, то $u_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3n^2} > \frac{2}{3}$. Последовательность ограничена снизу числом $\frac{2}{3}$. Таким образом, $\frac{2}{3} < u_n \le 1$.
Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу.

5) $b_n = \frac{n^2 - 1}{2n}$

Преобразуем выражение для n-го члена: $b_n = \frac{n}{2} - \frac{1}{2n}$.
Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$:
$b_{n+1} - b_n = \left(\frac{n+1}{2} - \frac{1}{2(n+1)}\right) - \left(\frac{n}{2} - \frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} - \frac{1}{2(n+1)} = \frac{n(n+1) + (n+1) - n}{2n(n+1)} = \frac{n^2+n+1}{2n(n+1)}$.
Так как при $n \ge 1$ числитель и знаменатель положительны, $b_{n+1} - b_n > 0$. Следовательно, последовательность является возрастающей.
Так как последовательность возрастающая, она ограничена снизу своим первым членом $b_1 = \frac{1^2-1}{2(1)} = 0$.
Найдем предел последовательности: $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{2} - \frac{1}{2n}\right) = \infty$. Так как предел равен бесконечности, последовательность не ограничена сверху.
Ответ: последовательность является возрастающей, ограниченной снизу.

6) $c_n = \frac{(-1)^n}{n}$

Выпишем несколько первых членов последовательности: $c_1 = -1$, $c_2 = \frac{1}{2}$, $c_3 = -\frac{1}{3}$, $c_4 = \frac{1}{4}$.
Так как $c_1 < c_2$ и $c_2 > c_3$, последовательность не является монотонной.
Рассмотрим модуль n-го члена: $|c_n| = \frac{1}{n}$. Так как $n \ge 1$, то $0 < \frac{1}{n} \le 1$. Значит, $|c_n| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le c_n \le 1$.
Наименьшее значение последовательности $c_n$ равно $c_1 = -1$, а наибольшее $c_2 = \frac{1}{2}$. Значит, последовательность ограничена и снизу, и сверху.
Ответ: последовательность не является монотонной, ограниченной сверху и снизу.

7) $x_n = \frac{2n^2 + 1}{4n^2 + 5}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{2x^2+1}{4x^2+5}$ и ее производную:
$f'(x) = \frac{4x(4x^2+5) - (2x^2+1)8x}{(4x^2+5)^2} = \frac{16x^3+20x-16x^3-8x}{(4x^2+5)^2} = \frac{12x}{(4x^2+5)^2}$.
При $x \ge 1$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает. Следовательно, последовательность $x_n$ является возрастающей.
Так как последовательность возрастающая, она ограничена снизу своим первым членом $x_1 = \frac{2(1)^2+1}{4(1)^2+5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Найдем предел последовательности: $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2+1}{4n^2+5} = \lim_{n \to \infty} \frac{2+1/n^2}{4+5/n^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Так как последовательность возрастает и стремится к $\frac{1}{2}$, она ограничена сверху этим числом. Таким образом, $\frac{1}{3} \le x_n < \frac{1}{2}$.
Ответ: последовательность является возрастающей, ограниченной сверху и снизу.

8) $a_n = \frac{2n^2 + 1}{n^2}$

Преобразуем выражение для n-го члена: $a_n = \frac{2n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2} = 2 + \frac{1}{n^2}$.
Последовательность $\frac{1}{n^2}$ является убывающей. Следовательно, последовательность $a_n = 2 + \frac{1}{n^2}$ также является убывающей.
Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $a_1 = 2 + \frac{1}{1^2} = 3$.
Поскольку $\frac{1}{n^2} > 0$, то $a_n = 2 + \frac{1}{n^2} > 2$. Последовательность ограничена снизу числом 2. Таким образом, $2 < a_n \le 3$.
Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу.

9) $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 1}$

Преобразуем выражение для n-го члена: $y_n = \frac{n^2+1-1}{n^2+1} = 1 - \frac{1}{n^2+1}$.
Последовательность $n^2+1$ возрастает, значит, последовательность $\frac{1}{n^2+1}$ убывает. Тогда последовательность $y_n = 1 - \frac{1}{n^2+1}$ является возрастающей.
Так как последовательность возрастающая, она ограничена снизу своим первым членом $y_1 = \frac{1^2}{1^2+1} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $\frac{1}{n^2+1} > 0$, то $y_n = 1 - \frac{1}{n^2+1} < 1$. Последовательность ограничена сверху числом 1. Таким образом, $\frac{1}{2} \le y_n < 1$.
Ответ: последовательность является возрастающей, ограниченной сверху и снизу.

10) $b_n = \frac{2n + 1}{2^n}$

Для исследования на монотонность рассмотрим отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ (все члены положительны):
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2(n+1)+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{2n+1} = \frac{2n+3}{2(2n+1)} = \frac{2n+3}{4n+2}$.
Сравним числитель и знаменатель: $4n+2 - (2n+3) = 2n-1$. При $n \ge 1$, $2n-1 > 0$, значит $4n+2 > 2n+3$.
Следовательно, $\frac{b_{n+1}}{b_n} < 1$, и последовательность является убывающей.
Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $b_1 = \frac{2(1)+1}{2^1} = \frac{3}{2}$.
Так как $2n+1 > 0$ и $2^n > 0$, все члены последовательности положительны, $b_n > 0$. Значит, последовательность ограничена снизу числом 0. Таким образом, $0 < b_n \le \frac{3}{2}$.
Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу.

11) $z_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

Преобразуем выражение, умножив и разделив на сопряженное:
$z_n = (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$.
Знаменатель $d_n = \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ является возрастающей последовательностью, так как функция $\sqrt{x}$ возрастает.
Поскольку знаменатель положительный и возрастает, сама дробь $z_n$ является убывающей последовательностью.
Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $z_1 = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2}-1$.
Так как знаменатель всегда положителен, $z_n > 0$. Последовательность ограничена снизу числом 0. Таким образом, $0 < z_n \le \sqrt{2}-1$.
Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу.

12) $p_n = 1 + (-1)^n$

Рассмотрим значения членов последовательности:
Если $n$ - четное число, $n=2k$, то $p_{2k} = 1 + (-1)^{2k} = 1+1=2$.
Если $n$ - нечетное число, $n=2k-1$, то $p_{2k-1} = 1 + (-1)^{2k-1} = 1-1=0$.
Последовательность принимает вид: $0, 2, 0, 2, \ldots$
Так как $p_1 < p_2$ и $p_2 > p_3$, последовательность не является монотонной.
Все члены последовательности принимают только два значения: 0 и 2. Следовательно, $0 \le p_n \le 2$. Последовательность ограничена и сверху, и снизу.
Ответ: последовательность не является монотонной, ограниченной сверху и снизу.