Номер 3.15, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.15. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена $a_n = \frac{n+1}{2n+1}$, является убывающей.

Для того чтобы доказать, что последовательность является убывающей, необходимо показать, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. То есть для любого натурального числа $n$ должно выполняться неравенство $a_{n+1} < a_n$. Это эквивалентно тому, что разность $a_{n+1} - a_n$ отрицательна.

Последовательность задана формулой общего члена $a_n = \frac{n+1}{2n+1}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$: $a_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{2(n+1)+1} = \frac{n+2}{2n+3}$.

Теперь рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$: $a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{2n+3} - \frac{n+1}{2n+1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2n+3)(2n+1)$: $a_{n+1} - a_n = \frac{(n+2)(2n+1) - (n+1)(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}$.

Раскроем скобки в числителе: $(n+2)(2n+1) = 2n^2 + n + 4n + 2 = 2n^2 + 5n + 2$. $(n+1)(2n+3) = 2n^2 + 3n + 2n + 3 = 2n^2 + 5n + 3$.

Подставим полученные выражения обратно в разность: $a_{n+1} - a_n = \frac{(2n^2 + 5n + 2) - (2n^2 + 5n + 3)}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{2n^2 + 5n + 2 - 2n^2 - 5n - 3}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{-1}{(2n+3)(2n+1)}$.

Проанализируем знак полученного выражения. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \geq 1$. При $n \geq 1$ выражения $2n+3$ и $2n+1$ являются положительными. Следовательно, их произведение $(2n+3)(2n+1)$ также положительно. Числитель дроби равен $-1$, то есть он отрицателен.

Таким образом, разность $a_{n+1} - a_n = \frac{-1}{(2n+3)(2n+1)}$ является отрицательной для любого натурального $n$, так как это частное от деления отрицательного числа на положительное.

Поскольку $a_{n+1} - a_n < 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$, то $a_{n+1} < a_n$. Это по определению означает, что последовательность является убывающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.