Номер 2.49, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.49. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases}x \le 3 - \frac{1}{x-1} \\|x+1| < 4;\end{cases}$

2) $\begin{cases}\frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} \ge 0, \\|5-x| \le 2.\end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x \le 3 - \frac{1}{x-1} \\ |x+1| < 4 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $x \le 3 - \frac{1}{x-1}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x - 3 + \frac{1}{x-1} \le 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-3)(x-1) + 1}{x-1} \le 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - x - 3x + 3 + 1}{x-1} \le 0$

$\frac{x^2 - 4x + 4}{x-1} \le 0$

Свернем числитель по формуле квадрата разности:

$\frac{(x-2)^2}{x-1} \le 0$

Это неравенство решим методом интервалов. Нули числителя: $x=2$. Ноль знаменателя: $x=1$.

Числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$ и положителен при $x \ne 2$.

Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Дробь равна нулю. Это возможно, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $(x-2)^2 = 0 \implies x=2$. При $x=2$ знаменатель $2-1=1 \ne 0$. Значит, $x=2$ является решением.

2. Дробь меньше нуля. Это возможно, когда числитель положителен, а знаменатель отрицателен. $(x-2)^2 > 0 \implies x \ne 2$. $x-1 < 0 \implies x < 1$. Таким образом, $x < 1$.

Объединяя оба случая, получаем решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup \{2\}$.

Теперь решим второе неравенство: $|x+1| < 4$.

Это неравенство равносильно системе:

$-4 < x+1 < 4$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-4 - 1 < x < 4 - 1$

$-5 < x < 3$

Решение второго неравенства: $x \in (-5, 3)$.

Найдём пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 1) \cup \{2\}$ и $(-5, 3)$.

Пересечение интервала $(-\infty, 1)$ и $(-5, 3)$ дает интервал $(-5, 1)$.

Точка $x=2$ также входит в интервал $(-5, 3)$, так как $-5 < 2 < 3$.

Следовательно, итоговое решение системы — это объединение этих результатов.

Ответ: $x \in (-5, 1) \cup \{2\}$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} \ge 0 \\ |5-x| \le 2 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $\frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} \ge 0$. Область допустимых значений: $x \ne 5$.

Приведем к общему знаменателю $2(x-5)$:

$\frac{2(x+7) + (3x+1)(x-5)}{2(x-5)} \ge 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2x + 14 + 3x^2 - 15x + x - 5}{2(x-5)} \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{3x^2 - 12x + 9}{2(x-5)} \ge 0$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$\frac{3(x^2 - 4x + 3)}{2(x-5)} \ge 0$

Разделим обе части на положительное число $3/2$:

$\frac{x^2 - 4x + 3}{x-5} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ это $x_1=1$ и $x_2=3$.

$\frac{(x-1)(x-3)}{x-5} \ge 0$

Решим методом интервалов. Критические точки: $x=1, x=3, x=5$.

Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, 1), (1, 3), (3, 5), (5, \infty)$, получаем, что неравенство выполняется для $x \in [1, 3] \cup (5, \infty)$. Точки $x=1$ и $x=3$ включаются, так как неравенство нестрогое, а точка $x=5$ исключается, так как она обращает знаменатель в ноль.

Теперь решим второе неравенство: $|5-x| \le 2$.

Так как $|5-x| = |x-5|$, неравенство можно переписать как $|x-5| \le 2$.

Это равносильно двойному неравенству:

$-2 \le x-5 \le 2$

Прибавим 5 ко всем частям:

$-2+5 \le x \le 2+5$

$3 \le x \le 7$

Решение второго неравенства: $x \in [3, 7]$.

Найдём пересечение решений: $[1, 3] \cup (5, \infty)$ и $[3, 7]$.

Пересечение множества $[1, 3]$ и $[3, 7]$ — это точка $\{3\}$.

Пересечение множества $(5, \infty)$ и $[3, 7]$ — это интервал $(5, 7]$.

Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in \{3\} \cup (5, 7]$.