Номер 2.42, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.42. В круговом турнире по шахматам двое участников, сыгравших по три партии, выбыли из турнира по состоянию здоровья. В турнире было сыграно всего 16 партий. Сколько участников было в турнире первоначально?

Пусть $n$ — первоначальное количество участников турнира. По условию, двое участников выбыли, сыграв по три партии. Это означает, что $n-2$ участника доиграли турнир до конца.

Общее количество сыгранных в турнире партий (16) складывается из двух компонентов:
1. Количество партий, сыгранных между собой $n-2$ участниками, которые остались в турнире до конца.
2. Количество партий, сыгранных двумя выбывшими участниками.

Количество партий в круговом турнире между $k$ участниками вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_k^2 = \frac{k(k-1)}{2}$.Следовательно, $n-2$ оставшихся участника сыграли между собой $\frac{(n-2)(n-2-1)}{2} = \frac{(n-2)(n-3)}{2}$ партий.

Теперь рассмотрим партии, сыгранные двумя выбывшими участниками. Каждый из них сыграл по 3 партии. Здесь возможны два сценария.

Случай 1: Выбывшие участники сыграли партию между собой.
В этом случае одна из трех партий каждого из выбывших была сыграна друг с другом. Чтобы найти общее количество уникальных партий с их участием, нужно сложить количество их партий и вычесть одну (ту, что они сыграли между собой), чтобы избежать двойного счета: $3 + 3 - 1 = 5$ партий.
Тогда общее уравнение для количества партий в турнире выглядит так:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} + 5 = 16$
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} = 11$
$(n-2)(n-3) = 22$
Это уравнение требует, чтобы произведение двух последовательных целых чисел, $(n-3)$ и $(n-2)$, равнялось 22. Таких целых чисел не существует ($4 \times 5 = 20$, а $5 \times 6 = 30$). Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Выбывшие участники не играли между собой.
В этом случае все партии, сыгранные каждым из выбывших, были против участников, которые остались в турнире. Общее количество партий, сыгранных этими двумя участниками, равно сумме их индивидуальных партий: $3 + 3 = 6$ партий.
Уравнение для общего числа партий принимает вид:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} + 6 = 16$
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} = 10$
$(n-2)(n-3) = 20$
Нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 20. Этими числами являются 4 и 5.
Следовательно, $n-3=4$ и $n-2=5$. Оба уравнения дают один и тот же результат: $n=7$.
Проверим это решение: если изначально было 7 участников, а 2 выбыли, то осталось 5. Эти 5 участников сыграли между собой $\frac{5 \times 4}{2} = 10$ партий. Два выбывших участника сыграли 6 партий ($3+3$). Итого: $10 + 6 = 16$ партий. Это соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в турнире было 7 участников.