Номер 2.35, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.35. За круглым столом сидят $n$ людей. Покажите, что количество всех перестановок этих людей определяется формулой $\frac{P_n}{n} = (n-1)!$

Для того чтобы показать справедливость данной формулы, рассмотрим задачу о рассадке $n$ людей за круглым столом. Существует два основных подхода к её решению.

Способ 1: Через линейные перестановки

1. Для начала определим, сколькими способами можно рассадить $n$ людей в ряд (например, на скамейку). Это классическая задача на нахождение числа перестановок. Количество таких способов равно числу перестановок из $n$ различных элементов, которое обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле:
$P_n = n!$

2. Главное отличие рассадки за круглым столом заключается в том, что у стола нет ни начала, ни конца. Если все сидящие сдвинутся на одно место по часовой стрелке, их взаимное расположение не изменится, следовательно, такая рассадка считается той же самой.

3. Рассмотрим одну любую уникальную рассадку людей за круглым столом. Если мы "разорвём" этот круг в любом из $n$ возможных мест (между каждой парой соседей) и "вытянем" его в линию, мы получим $n$ различных линейных перестановок. Например, для $n=3$ человек (A, B, C), одна круговая рассадка, где B сидит справа от A, а C справа от B, порождает три линейные перестановки: ABC, BCA, CAB. Все они эквивалентны за круглым столом.

4. Таким образом, каждая уникальная круговая перестановка соответствует $n$ различным линейным перестановкам. Чтобы получить количество уникальных перестановок за круглым столом, необходимо общее количество линейных перестановок ($P_n$) разделить на $n$:
Количество круговых перестановок = $\frac{P_n}{n}$

5. Теперь упростим это выражение, используя определение $n! = n \times (n-1)!$:
$\frac{P_n}{n} = \frac{n!}{n} = \frac{n \times (n-1)!}{n} = (n-1)!$
Это полностью доказывает исходную формулу.

Способ 2: Фиксация одного человека

1. Так как все места за круглым столом изначально равнозначны, мы можем выбрать одного человека и посадить его на любое место, не теряя общности. Этот человек будет служить точкой отсчета.

2. После того как один человек сел, круговая симметрия нарушается. Все остальные $(n-1)$ мест становятся различимыми относительно этого человека (например, место справа от него, место через одно от него и так далее).

3. Задача сводится к тому, чтобы рассадить оставшихся $(n-1)$ человек на $(n-1)$ свободных и теперь уже различимых мест. Это стандартная задача о перестановках для $(n-1)$ элементов.

4. Количество способов это сделать равно числу перестановок из $(n-1)$ элементов:
$P_{n-1} = (n-1)!$

Оба способа приводят к одному и тому же результату, доказывая, что количество перестановок $n$ людей за круглым столом равно $(n-1)!$, что в свою очередь равно $\frac{P_n}{n}$.

Ответ: Количество всех перестановок $n$ людей в ряд равно $P_n = n!$. При рассадке за круглым столом все расположения, которые можно получить друг из друга поворотом, считаются одним и тем же. Каждой уникальной круговой перестановке соответствует $n$ линейных перестановок. Следовательно, общее число линейных перестановок $P_n$ нужно разделить на $n$, чтобы исключить повторения из-за вращения. Это приводит к формуле $\frac{P_n}{n} = \frac{n!}{n} = (n-1)!$, что и требовалось доказать.