Номер 2.33, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.33. В классе 35 учеников. Староста дал заместителю директора следующий отчет об участии учеников класса в спортивных мероприятиях школы: 16 учеников участвовали в турнире по футболу, 15 – по волейболу, 14 – по баскетболу, 4 ученика участвовали в турнирах и по футболу, и по волейболу, 3 – и по волейболу, и по баскетболу, 3 – и по футболу, и по баскетболу, а 2 ученика участвовали во всех трех видах игры. Почему заместитель директора представленный отчет признал не соответствующим действительности?

Для того чтобы определить, почему отчет старосты был признан не соответствующим действительности, необходимо подсчитать общее количество уникальных учеников, которые участвовали хотя бы в одном из спортивных мероприятий, и сравнить это число с общим количеством учеников в классе.

Введем обозначения для множеств учеников, участвовавших в каждом виде спорта:
$Ф$ – множество учеников, игравших в футбол;
$В$ – множество учеников, игравших в волейбол;
$Б$ – множество учеников, игравших в баскетбол.

Из условия задачи нам известны следующие данные:
Количество участников турнира по футболу: $|Ф| = 16$
Количество участников турнира по волейболу: $|В| = 15$
Количество участников турнира по баскетболу: $|Б| = 14$
Участвовали в турнирах по футболу и волейболу: $|Ф \cap В| = 4$
Участвовали в турнирах по волейболу и баскетболу: $|В \cap Б| = 3$
Участвовали в турнирах по футболу и баскетболу: $|Ф \cap Б| = 3$
Участвовали во всех трех турнирах: $|Ф \cap В \cap Б| = 2$

Для нахождения общего числа учеников, принявших участие хотя бы в одном из мероприятий (мощности объединения множеств $Ф$, $В$ и $Б$), воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств:

$|Ф \cup В \cup Б| = |Ф| + |В| + |Б| - (|Ф \cap В| + |Ф \cap Б| + |В \cap Б|) + |Ф \cap В \cap Б|$

Теперь подставим в формулу числовые значения из отчета старосты:

$|Ф \cup В \cup Б| = 16 + 15 + 14 - (4 + 3 + 3) + 2$

Выполним вычисления:

$|Ф \cup В \cup Б| = 45 - 10 + 2 = 37$

Согласно расчетам, основанным на данных из отчета, общее количество учеников, принявших участие в спортивных мероприятиях, составляет 37 человек. Однако по условию задачи в классе всего 35 учеников. Количество участников не может превышать общее количество учеников в классе.

Эту же информацию можно наглядно представить с помощью диаграммы Эйлера-Венна. Сначала найдем количество учеников в каждой отдельной секции диаграммы, двигаясь от центра к краям.

1. Участвовали во всех трех видах спорта: $2$ ученика.
2. Участвовали только в футболе и волейболе: $|Ф \cap В| - |Ф \cap В \cap Б| = 4 - 2 = 2$ ученика.
3. Участвовали только в футболе и баскетболе: $|Ф \cap Б| - |Ф \cap В \cap Б| = 3 - 2 = 1$ ученик.
4. Участвовали только в волейболе и баскетболе: $|В \cap Б| - |Ф \cap В \cap Б| = 3 - 2 = 1$ ученик.
5. Участвовали только в футболе: $|Ф| - (2 + 1 + 2) = 16 - 5 = 11$ учеников.
6. Участвовали только в волейболе: $|В| - (2 + 1 + 2) = 15 - 5 = 10$ учеников.
7. Участвовали только в баскетболе: $|Б| - (1 + 1 + 2) = 14 - 4 = 10$ учеников.

Сложив количество учеников из всех непересекающихся областей диаграммы, мы получим общее число участников:
$11 + 10 + 10 + 2 + 1 + 1 + 2 = 37$ учеников.

Ответ: Заместитель директора признал отчет не соответствующим действительности, потому что, согласно приведенным в отчете данным, общее число уникальных учеников, участвовавших в спортивных мероприятиях, составляет 37, что превышает общее количество учеников в классе (35).