Номер 2.26, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.26. В пассажирском поезде имеются 15 вагонов. Сколькими способами можно рассадить трех путников по разным вагонам?

Данная задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно найти количество способов разместить 3-х путников в 15 вагонах так, чтобы все они оказались в разных вагонах. Поскольку путники являются различными (уникальными личностями), и вагоны тоже различны (пронумерованы), порядок их размещения имеет значение. Это означает, что мы ищем число размещений без повторений.

Можно рассуждать последовательно:

1. Для первого путника существует 15 свободных вагонов, в любой из которых он может сесть. Таким образом, у него есть 15 вариантов выбора.

2. После того как первый путник занял один вагон, для второго путника остается $15 - 1 = 14$ свободных вагонов, так как по условию они должны быть в разных вагонах. У второго путника 14 вариантов выбора.

3. Третий путник должен занять вагон, отличный от тех, в которых уже находятся первые два. Для него остается $14 - 1 = 13$ свободных вагонов. У третьего путника 13 вариантов выбора.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить число вариантов для каждого путника согласно правилу произведения в комбинаторике:

Общее число способов = $15 \times 14 \times 13$

Это соответствует формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$ (в нашем случае из 15 по 3), которая обозначается как $A_n^k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Подставим наши значения $n = 15$ и $k = 3$:

$A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{12!} = 15 \times 14 \times 13$

Теперь вычислим результат:

$15 \times 14 = 210$

$210 \times 13 = 2730$

Следовательно, существует 2730 способов рассадить трех путников по разным вагонам.

Ответ: 2730