Номер 2.32, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.32. Сколько четных чисел, меньших, чем $10^4$, можно написать с помощью цифр 0, 4, 5?

Для решения этой задачи нам нужно подсчитать количество четных чисел, которые меньше $10^4$ и могут быть записаны с помощью цифр 0, 4, 5. Число меньше $10^4$ может быть однозначным, двузначным, трехзначным или четырехзначным. Число является четным, если его последняя цифра четная. В данном наборе {0, 4, 5} четными являются цифры 0 и 4. Разобьем задачу на случаи в зависимости от количества цифр в числе.

1. Однозначные четные числа
Из набора цифр {0, 4, 5} четными являются 0 и 4. Число 0 также считается четным. Таким образом, есть 2 однозначных четных числа, которые можно составить.

2. Двузначные четные числа
Двузначное число имеет две цифры. Первая цифра (разряд десятков) не может быть нулем, чтобы число было двузначным. Следовательно, для первой цифры есть 2 варианта: 4 или 5. Вторая цифра (разряд единиц) должна быть четной, чтобы все число было четным. Для нее также есть 2 варианта: 0 или 4. Используя правило произведения в комбинаторике, получаем общее количество двузначных четных чисел: $2 \times 2 = 4$.

3. Трехзначные четные числа
Трехзначное число состоит из трех цифр. Первая цифра не может быть нулем, поэтому для нее есть 2 варианта (4 или 5). Вторая цифра может быть любой из трех доступных цифр {0, 4, 5}, то есть 3 варианта. Последняя цифра должна быть четной, что дает 2 варианта (0 или 4). Общее количество трехзначных четных чисел: $2 \times 3 \times 2 = 12$.

4. Четырехзначные четные числа
Четырехзначное число, составленное из данных цифр, гарантированно будет меньше $10^4$. Первая цифра не может быть нулем, значит для нее есть 2 варианта (4 или 5). Вторая и третья цифры могут быть любыми из набора {0, 4, 5}, то есть по 3 варианта для каждой. Последняя цифра должна быть четной, что дает 2 варианта (0 или 4). Общее количество четырехзначных четных чисел: $2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$.

Общее количество
Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно сложить количества, найденные для каждого случая: $2 (\text{однозначные}) + 4 (\text{двузначные}) + 12 (\text{трехзначные}) + 36 (\text{четырехзначные}) = 54$.
Ответ: 54