Номер 2.25, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.25. Если лист бумаги, в котором написаны цифры, повернуть на $180^\circ$, то цифры 0, 1, 8 не меняются, а цифры 6 и 9 переходят один к другому. Сколько существует пятизначных чисел, которые не меняются при повороте бумаги на $180^\circ$?

Для того чтобы пятизначное число не менялось при повороте на 180°, оно должно состоять только из цифр, которые при таком повороте либо не меняются, либо переходят друг в друга. Согласно условию, это цифры 0, 1, 8 (не меняются) и 6, 9 (переходят друг в друга). Остальные цифры (2, 3, 4, 5, 7) при повороте изменят свой вид, поэтому их использовать нельзя.

Пусть искомое пятизначное число имеет вид $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$. При повороте листа на 180° порядок цифр становится обратным, и сами цифры также поворачиваются. Чтобы число осталось неизменным, повернутая первая цифра должна совпасть с исходной пятой, повернутая вторая — с исходной четвертой, а повернутая третья (центральная) должна остаться той же. Обозначив операцию поворота цифры как $R$, можно записать следующие условия:

$d_5 = R(d_1)$

$d_4 = R(d_2)$

$d_3 = R(d_3)$

Рассмотрим количество возможных вариантов для каждой позиции, учитывая, что $d_1 \neq 0$, так как число является пятизначным.

1. Выбор центральной цифры $d_3$.
Эта цифра должна быть симметричной относительно поворота, то есть $d_3 = R(d_3)$. Этому условию удовлетворяют цифры 0, 1 и 8. Таким образом, для $d_3$ есть 3 возможных варианта.

2. Выбор первой ($d_1$) и пятой ($d_5$) цифр.
Эти цифры образуют пару, связанную соотношением $d_5 = R(d_1)$. Первая цифра $d_1$ не может быть нулем. Следовательно, для $d_1$ можно выбрать одну из цифр 1, 8, 6 или 9.

• Если $d_1 = 1$, то $d_5 = R(1) = 1$.
• Если $d_1 = 8$, то $d_5 = R(8) = 8$.
• Если $d_1 = 6$, то $d_5 = R(6) = 9$.
• Если $d_1 = 9$, то $d_5 = R(9) = 6$.

Итого, существует 4 варианта для выбора цифры $d_1$. Выбор $d_1$ однозначно определяет цифру $d_5$.

3. Выбор второй ($d_2$) и четвертой ($d_4$) цифр.
Эта пара цифр связана соотношением $d_4 = R(d_2)$. Для $d_2$ можно использовать любую из допустимых цифр: 0, 1, 8, 6, 9.

• Если $d_2 = 0$, то $d_4 = R(0) = 0$.
• Если $d_2 = 1$, то $d_4 = R(1) = 1$.
• Если $d_2 = 8$, то $d_4 = R(8) = 8$.
• Если $d_2 = 6$, то $d_4 = R(6) = 9$.
• Если $d_2 = 9$, то $d_4 = R(9) = 6$.

Таким образом, для второй цифры $d_2$ существует 5 вариантов выбора. Выбор $d_2$ однозначно определяет цифру $d_4$.

Чтобы найти общее количество таких пятизначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой независимой позиции (или пары позиций), используя правило произведения в комбинаторике.

Общее количество чисел = (количество вариантов для $d_1$) $\times$ (количество вариантов для $d_2$) $\times$ (количество вариантов для $d_3$).

Количество чисел = $4 \times 5 \times 3 = 60$.

Ответ: 60.