Номер 2.18, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.18. Сколько существует трехзначных чисел, делящихся только на два из чисел 2, 5, 7 и не делящихся на третье из этих чисел?

Для решения задачи нам нужно рассмотреть три взаимоисключающих случая. Трехзначные числа — это числа в диапазоне от 100 до 999. Мы будем искать количество чисел, которые:

1. Делятся на 2 и 5, но не делятся на 7.

2. Делятся на 2 и 7, но не делятся на 5.

3. Делятся на 5 и 7, но не делятся на 2.

Итоговый результат будет суммой количеств, найденных в каждом из этих трех случаев. Для нахождения количества чисел, кратных $n$, в диапазоне от 100 до 999, будем использовать формулу: $N(n) = \lfloor \frac{999}{n} \rfloor - \lfloor \frac{99}{n} \rfloor$.

Числа, делящиеся на 2 и 5, но не на 7

Число, которое делится на 2 и 5, должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК), равное $2 \times 5 = 10$. Нам нужно найти количество трехзначных чисел, кратных 10, и вычесть из них те, что также кратны 7. Числа, кратные одновременно 10 и 7, делятся на НОК(10, 7) = 70.

Количество трехзначных чисел, кратных 10:
$N(10) = \lfloor \frac{999}{10} \rfloor - \lfloor \frac{99}{10} \rfloor = 99 - 9 = 90$.

Количество трехзначных чисел, кратных 70:
$N(70) = \lfloor \frac{999}{70} \rfloor - \lfloor \frac{99}{70} \rfloor = 14 - 1 = 13$.

Следовательно, количество чисел для этого случая составляет: $90 - 13 = 77$.

Числа, делящиеся на 2 и 7, но не на 5

Число, которое делится на 2 и 7, должно делиться на НОК(2, 7) = 14. Из этих чисел нужно исключить те, которые также делятся на 5, то есть делятся на НОК(14, 5) = 70.

Количество трехзначных чисел, кратных 14:
$N(14) = \lfloor \frac{999}{14} \rfloor - \lfloor \frac{99}{14} \rfloor = 71 - 7 = 64$.

Количество чисел, кратных 70, мы уже вычислили, оно равно 13.

Таким образом, количество чисел для второго случая: $64 - 13 = 51$.

Числа, делящиеся на 5 и 7, но не на 2

Число, которое делится на 5 и 7, должно делиться на НОК(5, 7) = 35. Из этих чисел нужно исключить те, которые также делятся на 2, то есть делятся на НОК(35, 2) = 70.

Количество трехзначных чисел, кратных 35:
$N(35) = \lfloor \frac{999}{35} \rfloor - \lfloor \frac{99}{35} \rfloor = 28 - 2 = 26$.

Количество чисел, кратных 70, равно 13.

Количество чисел для третьего случая: $26 - 13 = 13$.

Общее количество

Чтобы найти общее количество искомых чисел, сложим результаты, полученные в каждом из трех случаев:

$77 + 51 + 13 = 141$.

Ответ: 141.