Номер 2.15, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.15. У одного ученика имеются 7 книг, а у второго – 8 книг.
Сколькими способами они могут произвести обмен книгами два на два?

Для того чтобы ученики совершили обмен "два на два", первый ученик должен выбрать две книги из своих семи, а второй ученик должен выбрать две книги из своих восьми. Эти выборы являются независимыми друг от друга событиями.

1. Определим, сколькими способами первый ученик может выбрать 2 книги из 7. Так как порядок выбора книг не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Для первого ученика $n=7$, $k=2$. Число способов равно:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{42}{2} = 21$ способ.

2. Определим, сколькими способами второй ученик может выбрать 2 книги из 8. Здесь $n=8$, $k=2$. Число способов равно:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8}{2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{56}{2} = 28$ способов.

3. Чтобы найти общее число способов обмена, нужно перемножить количество способов выбора книг для каждого ученика, согласно правилу произведения в комбинаторике. Каждому выбору первого ученика соответствует любой выбор второго ученика.

Общее количество способов обмена = (число способов для первого ученика) × (число способов для второго ученика).

Общее количество способов = $C_7^2 \times C_8^2 = 21 \times 28 = 588$.

Ответ: 588.