Номер 2.10, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.10. Сколькими способами можно рассадить 6 человек:

1) в один ряд;

2) за круглым столом?

1) в один ряд
Рассадка 6 человек в один ряд является классической задачей на нахождение числа перестановок. У нас есть 6 различных людей и 6 различных мест, и порядок их расположения важен.
На первое место можно посадить любого из 6 человек.
На второе место можно посадить любого из оставшихся 5 человек.
На третье место — любого из оставшихся 4, и так далее, пока для последнего места не останется только один человек.
Общее количество способов является произведением числа вариантов для каждого места. Это число перестановок из 6 элементов ($P_6$), которое вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал).
Для 6 человек ($n=6$):
$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
Ответ: 720.

2) за круглым столом
При рассадке за круглым столом имеет значение только взаимное расположение людей, а не конкретное место, которое они занимают. Расположения, которые можно получить друг из друга поворотом стола, считаются одинаковыми.
Чтобы учесть эту симметрию, мы можем мысленно зафиксировать одного человека на одном месте. Тогда задача сводится к рассадке оставшихся 5 человек на 5 оставшихся мест. Это эквивалентно нахождению числа перестановок для 5 элементов.
Число способов рассадить $n$ человек за круглым столом вычисляется по формуле $(n-1)!$.
Для 6 человек ($n=6$):
$(6 - 1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Ответ: 120.