Номер 2.14, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Сколькими способами можно расставить 5 шашек на черных клетках шахматной доски?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать 5 клеток для расстановки 5 шашек из всех доступных черных клеток на шахматной доске. Поскольку шашки считаются неразличимыми (одинаковыми), а порядок их установки на выбранные клетки не важен, задача сводится к вычислению числа сочетаний.

1. Определение общего числа доступных позиций.
Стандартная шахматная доска имеет размер 8x8, что в сумме составляет 64 клетки. Ровно половина из них — черные.
Следовательно, общее число черных клеток $n$ равно:
$n = \frac{64}{2} = 32$

2. Определение количества выбираемых элементов.
Согласно условию, необходимо расставить $k = 5$ шашек.

3. Использование формулы числа сочетаний.
Число способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, без учета порядка, определяется формулой числа сочетаний:
$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

4. Расчет.
Подставим в формулу наши значения $n=32$ и $k=5$:
$C_{32}^5 = \frac{32!}{5!(32-5)!} = \frac{32!}{5! \cdot 27!}$
Для вычисления раскроем факториалы и сократим одинаковые члены:
$C_{32}^5 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27!}{ (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 27!} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$
Упростим выражение, сокращая множители в числителе и знаменателе:
$C_{32}^5 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{120}$
Можно выполнить сокращение поэтапно:
$C_{32}^5 = \frac{32}{4 \times 2} \times 31 \times \frac{30}{5 \times 3} \times 29 \times 28 = 4 \times 31 \times 2 \times 29 \times 28$
Перегруппируем для удобства:
$C_{32}^5 = (4 \times 2) \times 31 \times 29 \times 28 = 8 \times 31 \times 29 \times 28$
Это неверное сокращение. Вернемся к исходной дроби и сократим аккуратнее:
Знаменатель: $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Числитель: $32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28$.
$C_{32}^5 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{120} = 32 \times 31 \times \frac{30}{120} \times 29 \times 28 = 32 \times 31 \times \frac{1}{4} \times 29 \times 28$
$C_{32}^5 = \frac{32}{4} \times 31 \times 29 \times 28 = 8 \times 31 \times 29 \times 28$
Вычислим произведение:
$8 \times 31 = 248$
$29 \times 28 = 812$
$248 \times 812 = 201376$

Таким образом, существует 201 376 способов расставить 5 шашек на 32 черные клетки шахматной доски.

Ответ: 201 376.