Номер 2.8, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.8. Сколькими способами с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 можно составить:

1) трехзначное число;

2) трехзначное число, цифры которого не повторяются?

1) трехзначное число;
Для составления трехзначного числа нам нужно выбрать цифры для трех позиций: сотен, десятков и единиц. Нам даны шесть цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
В данном случае цифры в числе могут повторяться. Это означает, что для каждой из трех позиций мы можем выбрать любую из шести доступных цифр.
- Выбор цифры для разряда сотен: 6 способов (любая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6).
- Выбор цифры для разряда десятков: 6 способов (цифры могут повторяться).
- Выбор цифры для разряда единиц: 6 способов (цифры могут повторяться).
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных трехзначных чисел равно произведению количества выборов для каждой позиции.
Такие комбинации называются размещениями с повторениями, и их число вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n$ — количество элементов для выбора (у нас $n=6$), а $k$ — количество позиций (у нас $k=3$).
Общее число способов: $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.
Ответ: 216.

2) трехзначное число, цифры которого не повторяются?
В этом случае мы также составляем трехзначное число из шести цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6), но с дополнительным условием: все цифры в числе должны быть различными.
- Выбор цифры для разряда сотен: 6 способов (любая из шести цифр).
- Выбор цифры для разряда десятков: после того как мы выбрали одну цифру для сотен, для десятков остается $6 - 1 = 5$ вариантов, так как повторение не допускается.
- Выбор цифры для разряда единиц: после выбора двух разных цифр для сотен и десятков, для единиц остается $6 - 2 = 4$ варианта.
По правилу произведения, общее количество способов равно:
$6 \times 5 \times 4 = 120$.
Такие комбинации называются размещениями без повторений. Их число находится по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=6$ и $k=3$.
$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
Ответ: 120.