Страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.3. На книжной полке расположены 2 книги по комбинаторике, 5 книг – по теории вероятностей, 4 книги – по алгебре, 3 книги – по истории и 6 книг – по литературе. Сколькими способами можно выбрать:

1) одну книгу по математике;

2) одну книгу по математике или по литературе?

1) одну книгу по математике;
В задаче указаны книги по следующим разделам математики: комбинаторика, теория вероятностей и алгебра. Чтобы найти общее количество способов выбрать одну книгу по математике, нужно сначала найти общее количество математических книг. Это делается с помощью правила сложения, так как выбор книги по комбинаторике, теории вероятностей или алгебре — это взаимоисключающие события при выборе одной книги.
Количество книг по комбинаторике: $2$.
Количество книг по теории вероятностей: $5$.
Количество книг по алгебре: $4$.
Общее количество книг по математике $N_{мат}$ равно сумме книг по этим разделам:
$N_{мат} = 2 + 5 + 4 = 11$.
Так как нужно выбрать только одну книгу, количество способов равно общему количеству книг по математике.
Ответ: 11.

2) одну книгу по математике или по литературе?
Чтобы найти количество способов выбрать одну книгу по математике или по литературе, мы также используем правило сложения. Выбор книги по математике и выбор книги по литературе являются взаимоисключающими событиями.
Количество книг по математике, как мы выяснили в предыдущем пункте, равно $11$.
Количество книг по литературе по условию равно $6$.
Общее количество способов $N_{общ}$ равно сумме количества способов выбрать книгу по математике и количества способов выбрать книгу по литературе:
$N_{общ} = N_{мат} + N_{лит} = 11 + 6 = 17$.
Следовательно, существует 17 различных способов выбрать одну книгу по математике или по литературе.
Ответ: 17.

2.4. Сколько двузначных натуральных чисел делится и на 3, и на 4?

Чтобы натуральное число делилось одновременно и на 3, и на 4, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку числа 3 и 4 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению:
$НОК(3, 4) = 3 \cdot 4 = 12$.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества двузначных натуральных чисел, которые делятся на 12. Двузначными натуральными числами являются числа от 10 до 99 включительно.

Искомые числа можно представить в виде $12 \cdot k$, где $k$ — натуральное число. Эти числа должны находиться в диапазоне [10, 99]. Запишем это в виде двойного неравенства:
$10 \le 12 \cdot k \le 99$.

Чтобы найти возможные значения $k$, разделим все части неравенства на 12:
$\frac{10}{12} \le k \le \frac{99}{12}$
$0.833... \le k \le 8.25$.

Поскольку $k$ должно быть целым числом, его возможными значениями в этом диапазоне являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Количество таких значений равно 8. Следовательно, существует 8 двузначных натуральных чисел, делящихся и на 3, и на 4.

Ответ: 8

2.5. На почтамте имеются 3 вида конвертов и 5 видов марок. Сколькими способами для отправки письма можно выбрать один конверт и одну марку?

Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения. Оно гласит, что если элемент A можно выбрать $m$ способами, а элемент B можно выбрать $n$ способами, то пару (A, B) можно выбрать $m \times n$ способами.

В нашем случае нам нужно совершить два независимых выбора:
1. Выбрать один конверт. По условию, имеется 3 вида конвертов. Следовательно, количество способов выбрать конверт равно $3$.
2. Выбрать одну марку. По условию, имеется 5 видов марок. Следовательно, количество способов выбрать марку равно $5$.

Чтобы найти общее количество способов выбрать один конверт и одну марку, необходимо перемножить количество способов выбора конверта на количество способов выбора марки.

Пусть $N$ — искомое количество способов. Тогда:
$N = (\text{количество видов конвертов}) \times (\text{количество видов марок})$
$N = 3 \times 5 = 15$

Следовательно, существует 15 различных способов выбрать комплект из одного конверта и одной марки.
Ответ: 15

2.6. Сколькими способами два ученика могут поделиться пятью книгами?

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов распределения 5 различных книг между двумя учениками. Поскольку книги обычно считаются уникальными объектами (если не указано иное), а ученики также различимы, мы имеем дело с задачей о размещениях с повторениями.

Представим, что мы принимаем решение для каждой из пяти книг по отдельности. Для каждой книги есть ровно два варианта, кому она достанется: первому ученику или второму.

• Для первой книги: 2 варианта.
• Для второй книги: 2 варианта.
• Для третьей книги: 2 варианта.
• Для четвертой книги: 2 варианта.
• Для пятой книги: 2 варианта.

Согласно основному правилу комбинаторики (правилу произведения), общее количество способов распределения всех пяти книг будет равно произведению количества вариантов для каждой книги:$N = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$

Вычислим результат:$2^5 = 32$

Таким образом, существует 32 способа распределить 5 книг между двумя учениками.

Важно отметить, что этот результат включает два случая, когда все книги получает один ученик, а другой не получает ничего. Иногда слово "поделиться" может подразумевать, что каждый участник должен получить хотя бы что-то. Если бы это было так, то нам следовало бы вычесть эти два "крайних" случая из общего числа способов:$32 - 2 = 30$ способов.

Однако в классической постановке комбинаторных задач термин "распределить" или "поделиться" обычно допускает, что некоторые получатели могут остаться ни с чем. Поэтому стандартным решением является 32.

Ответ: 32

2.7. На почтамте имеются 5 видов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 вида марок?

Данная задача относится к области комбинаторики. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать 3 элемента из множества, содержащего 5 элементов. Поскольку порядок выбора видов марок не имеет значения (набор из марок {1, 2, 3} идентичен набору {3, 1, 2}), мы должны использовать формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:

$n = 5$ (общее количество видов марок)

$k = 3$ (количество видов марок, которые нужно выбрать)

Подставим значения в формулу:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!}$

Теперь выполним вычисления:

$C_5^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

Следовательно, существует 10 различных способов выбрать 3 вида марок из 5 имеющихся.

Ответ: 10.

2.8. Сколькими способами с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 можно составить:

1) трехзначное число;

2) трехзначное число, цифры которого не повторяются?

1) трехзначное число;
Для составления трехзначного числа нам нужно выбрать цифры для трех позиций: сотен, десятков и единиц. Нам даны шесть цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
В данном случае цифры в числе могут повторяться. Это означает, что для каждой из трех позиций мы можем выбрать любую из шести доступных цифр.
- Выбор цифры для разряда сотен: 6 способов (любая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6).
- Выбор цифры для разряда десятков: 6 способов (цифры могут повторяться).
- Выбор цифры для разряда единиц: 6 способов (цифры могут повторяться).
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных трехзначных чисел равно произведению количества выборов для каждой позиции.
Такие комбинации называются размещениями с повторениями, и их число вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n$ — количество элементов для выбора (у нас $n=6$), а $k$ — количество позиций (у нас $k=3$).
Общее число способов: $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.
Ответ: 216.

2) трехзначное число, цифры которого не повторяются?
В этом случае мы также составляем трехзначное число из шести цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6), но с дополнительным условием: все цифры в числе должны быть различными.
- Выбор цифры для разряда сотен: 6 способов (любая из шести цифр).
- Выбор цифры для разряда десятков: после того как мы выбрали одну цифру для сотен, для десятков остается $6 - 1 = 5$ вариантов, так как повторение не допускается.
- Выбор цифры для разряда единиц: после выбора двух разных цифр для сотен и десятков, для единиц остается $6 - 2 = 4$ варианта.
По правилу произведения, общее количество способов равно:
$6 \times 5 \times 4 = 120$.
Такие комбинации называются размещениями без повторений. Их число находится по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=6$ и $k=3$.
$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
Ответ: 120.

2.9. Сколькими способами из букв слова «логарифм» можно составить слово, состоящее из:

1) 5 букв;

2) 8 букв?

Слово «логарифм» состоит из 8 различных букв: л, о, г, а, р, и, ф, м. Поскольку при составлении нового слова порядок букв имеет значение, а сами буквы не повторяются, мы будем использовать формулы из комбинаторики для размещений и перестановок без повторений.

1) 5 букв

Требуется найти количество способов составить слово из 5 букв, выбирая их из 8 доступных. Это задача нахождения числа размещений из 8 элементов по 5, так как важен не только набор букв, но и их порядок.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае $n = 8$ (общее количество букв) и $k = 5$ (количество букв в составляемом слове). Подставим эти значения в формулу:

$A_8^5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

Таким образом, можно составить 6720 различных слов из 5 букв.

Ответ: 6720.

2) 8 букв

Требуется найти количество способов составить слово из 8 букв, используя все 8 букв слова «логарифм». Это задача нахождения числа перестановок 8 различных элементов.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

В данном случае $n = 8$. Вычислим факториал:

$P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

Следовательно, можно составить 40320 различных слов из 8 букв.

Ответ: 40320.

2.10. Сколькими способами можно рассадить 6 человек:

1) в один ряд;

2) за круглым столом?

1) в один ряд
Рассадка 6 человек в один ряд является классической задачей на нахождение числа перестановок. У нас есть 6 различных людей и 6 различных мест, и порядок их расположения важен.
На первое место можно посадить любого из 6 человек.
На второе место можно посадить любого из оставшихся 5 человек.
На третье место — любого из оставшихся 4, и так далее, пока для последнего места не останется только один человек.
Общее количество способов является произведением числа вариантов для каждого места. Это число перестановок из 6 элементов ($P_6$), которое вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал).
Для 6 человек ($n=6$):
$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
Ответ: 720.

2) за круглым столом
При рассадке за круглым столом имеет значение только взаимное расположение людей, а не конкретное место, которое они занимают. Расположения, которые можно получить друг из друга поворотом стола, считаются одинаковыми.
Чтобы учесть эту симметрию, мы можем мысленно зафиксировать одного человека на одном месте. Тогда задача сводится к рассадке оставшихся 5 человек на 5 оставшихся мест. Это эквивалентно нахождению числа перестановок для 5 элементов.
Число способов рассадить $n$ человек за круглым столом вычисляется по формуле $(n-1)!$.
Для 6 человек ($n=6$):
$(6 - 1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Ответ: 120.

2.11. Сколькими способами можно выбрать 2 дежурных из 25 учеников класса?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам необходимо выбрать 2 дежурных из 25 учеников. Поскольку порядок выбора не имеет значения (если выбрать ученика А и ученика Б, это та же самая пара дежурных, что и ученик Б и ученик А), мы должны использовать формулу для числа сочетаний.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ где $n$ — общее число элементов (в данном случае, учеников), а $k$ — число элементов, которое нужно выбрать (в данном случае, дежурных).

В нашей задаче $n = 25$ (всего учеников) и $k = 2$ (количество дежурных). Подставим эти значения в формулу: $C_{25}^2 = \frac{25!}{2!(25-2)!} = \frac{25!}{2! \cdot 23!}$

Для упрощения вычислений, распишем факториал в числителе и сократим: $C_{25}^2 = \frac{23! \cdot 24 \cdot 25}{2! \cdot 23!} = \frac{24 \cdot 25}{2!}$

Теперь выполним окончательный расчет, зная, что $2! = 2 \cdot 1 = 2$: $C_{25}^2 = \frac{24 \cdot 25}{2} = 12 \cdot 25 = 300$

Таким образом, существует 300 способов выбрать двух дежурных из 25 учеников класса.

Ответ: 300.

2.12. Сколько существует различных хорд с концами в данных 10 точках окружности?

Хорда — это отрезок, соединяющий две различные точки на окружности. В задаче дано 10 точек на окружности, и нужно найти количество всех возможных хорд, которые можно построить, соединяя эти точки попарно.

Для построения одной хорды нам необходимо выбрать 2 точки из 10 имеющихся. Порядок выбора точек не важен, так как хорда, соединяющая точку A и точку B, идентична хорде, соединяющей точку B и точку A. Это означает, что нам нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 2.

Задача решается с помощью формулы для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов (в нашем случае, точек), а $k$ — количество элементов в каждой выборке (для хорды нужно 2 точки).

Подставляем наши значения: $n = 10$ и $k = 2$.

Вычисляем количество хорд:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 1 \cdot 8!}$

Сокращаем $8!$ в числителе и знаменателе:

$C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Таким образом, из 10 точек на окружности можно построить 45 различных хорд.

Ответ: 45.

Сколько существует различных треугольников с вершинами в данных 10 точках окружности?

Для того чтобы построить треугольник, необходимо выбрать три точки, которые будут его вершинами. По условию задачи, даны 10 точек, расположенных на одной окружности.

Важным свойством является то, что любые три точки, лежащие на окружности, не могут быть коллинеарными (то есть лежать на одной прямой). Это связано с тем, что прямая может пересечь окружность не более чем в двух точках. Таким образом, любой выбор трех точек из заданных десяти однозначно определяет треугольник.

Задача сводится к вычислению количества способов выбрать 3 точки из 10. Поскольку порядок выбора вершин не влияет на сам треугольник (треугольник ABC — это тот же треугольник, что и CBA), мы должны использовать формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек $n = 10$, а для построения треугольника нам нужно выбрать $k = 3$ вершины. Подставляем эти значения в формулу:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$

Теперь проведем вычисления:

$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$

Таким образом, из 10 точек на окружности можно составить 120 различных треугольников.
Ответ: 120