Страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.35. За круглым столом сидят $n$ людей. Покажите, что количество всех перестановок этих людей определяется формулой $\frac{P_n}{n} = (n-1)!$

Для того чтобы показать справедливость данной формулы, рассмотрим задачу о рассадке $n$ людей за круглым столом. Существует два основных подхода к её решению.

Способ 1: Через линейные перестановки

1. Для начала определим, сколькими способами можно рассадить $n$ людей в ряд (например, на скамейку). Это классическая задача на нахождение числа перестановок. Количество таких способов равно числу перестановок из $n$ различных элементов, которое обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле:
$P_n = n!$

2. Главное отличие рассадки за круглым столом заключается в том, что у стола нет ни начала, ни конца. Если все сидящие сдвинутся на одно место по часовой стрелке, их взаимное расположение не изменится, следовательно, такая рассадка считается той же самой.

3. Рассмотрим одну любую уникальную рассадку людей за круглым столом. Если мы "разорвём" этот круг в любом из $n$ возможных мест (между каждой парой соседей) и "вытянем" его в линию, мы получим $n$ различных линейных перестановок. Например, для $n=3$ человек (A, B, C), одна круговая рассадка, где B сидит справа от A, а C справа от B, порождает три линейные перестановки: ABC, BCA, CAB. Все они эквивалентны за круглым столом.

4. Таким образом, каждая уникальная круговая перестановка соответствует $n$ различным линейным перестановкам. Чтобы получить количество уникальных перестановок за круглым столом, необходимо общее количество линейных перестановок ($P_n$) разделить на $n$:
Количество круговых перестановок = $\frac{P_n}{n}$

5. Теперь упростим это выражение, используя определение $n! = n \times (n-1)!$:
$\frac{P_n}{n} = \frac{n!}{n} = \frac{n \times (n-1)!}{n} = (n-1)!$
Это полностью доказывает исходную формулу.

Способ 2: Фиксация одного человека

1. Так как все места за круглым столом изначально равнозначны, мы можем выбрать одного человека и посадить его на любое место, не теряя общности. Этот человек будет служить точкой отсчета.

2. После того как один человек сел, круговая симметрия нарушается. Все остальные $(n-1)$ мест становятся различимыми относительно этого человека (например, место справа от него, место через одно от него и так далее).

3. Задача сводится к тому, чтобы рассадить оставшихся $(n-1)$ человек на $(n-1)$ свободных и теперь уже различимых мест. Это стандартная задача о перестановках для $(n-1)$ элементов.

4. Количество способов это сделать равно числу перестановок из $(n-1)$ элементов:
$P_{n-1} = (n-1)!$

Оба способа приводят к одному и тому же результату, доказывая, что количество перестановок $n$ людей за круглым столом равно $(n-1)!$, что в свою очередь равно $\frac{P_n}{n}$.

Ответ: Количество всех перестановок $n$ людей в ряд равно $P_n = n!$. При рассадке за круглым столом все расположения, которые можно получить друг из друга поворотом, считаются одним и тем же. Каждой уникальной круговой перестановке соответствует $n$ линейных перестановок. Следовательно, общее число линейных перестановок $P_n$ нужно разделить на $n$, чтобы исключить повторения из-за вращения. Это приводит к формуле $\frac{P_n}{n} = \frac{n!}{n} = (n-1)!$, что и требовалось доказать.

2.36. На железнодорожной станции имеется $m$ светофоров. Каждый светофор может подавать сигналы красного, желтого и зеленого цветов. Сколько различных видов сигналов можно подавать при помощи этих $m$ светофоров?

Данная задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью правила умножения. У нас есть $m$ независимых объектов (светофоров), и для каждого из них существует определенное количество состояний.

По условию, на станции имеется $m$ светофоров. Каждый светофор может подавать один из трех сигналов: красный, желтый или зеленый. Это означает, что для каждого светофора есть 3 возможных состояния.

Рассмотрим ситуацию последовательно:

• Для первого светофора есть 3 варианта выбора сигнала.
• Для второго светофора также есть 3 варианта выбора сигнала, и этот выбор не зависит от состояния первого светофора.
• Аналогично, для третьего светофора есть 3 варианта.
• И так далее, для каждого из $m$ светофоров есть 3 варианта.

Чтобы найти общее число различных сигналов, которые можно подать с помощью всей системы из $m$ светофоров, необходимо перемножить число возможных состояний для каждого светофора.

Общее количество сигналов $N$ равно произведению числа 3 на себя $m$ раз: $N = \underbrace{3 \times 3 \times \dots \times 3}_{m \text{ множителей}}$

Это произведение записывается в виде степени: $N = 3^m$

Таким образом, общее количество различных видов сигналов, которые можно подавать при помощи $m$ светофоров, составляет $3^m$.

Ответ: $3^m$

2.37. Сколькими способами можно рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглым столом так, чтобы никакие 2 юноши и никакие 2 девушки не сидели рядом?

Условие, что никакие два юноши и никакие две девушки не сидят рядом, означает, что за круглым столом они должны сидеть, чередуясь. То есть, рассадка должна выглядеть как "юноша-девушка-юноша-девушка..." и так далее.

Для нахождения общего числа способов можно сначала рассадить одну группу, например, юношей. Поскольку стол круглый, расположения, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми. Число способов рассадить $n$ различных людей за круглым столом равно $(n-1)!$. Для 5 юношей это составит $(5-1)! = 4!$ способов.

После того как юноши сели, между ними образовалось 5 свободных мест. Эти места уже не равнозначны, так как каждое место уникально определено положением между двумя конкретными юношами. На эти 5 мест нужно рассадить 5 девушек. Так как места различимы, это является линейной перестановкой, и число способов сделать это равно $5!$.На схеме показано, как после рассадки юношей (Ю) появляются определенные места для девушек (Д):

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов рассадки равно произведению числа способов рассадки юношей и числа способов рассадки девушек:$4! \times 5! = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) = 24 \times 120 = 2880$.

Ответ: 2880.

2.38. Сколько можно написать чисел, меньших, чем $10^4$, с помощью цифр 2, 4, 5:

1) нечетных?

2) четных?

В задаче требуется найти количество чисел, меньших $10^4$, которые можно составить из цифр 2, 4, 5. Это означает, что мы рассматриваем числа, состоящие из одной, двух, трех или четырех цифр. Цифры в числах могут повторяться.

1) нечетных
Нечетное число должно оканчиваться на нечетную цифру. Из набора {2, 4, 5} нечетной является только цифра 5.

Следовательно, последняя цифра любого такого числа должна быть 5 (1 вариант). Каждая из предшествующих цифр может быть любой из трех данных цифр {2, 4, 5} (3 варианта).

- Количество однозначных нечетных чисел: это число 5. Всего 1 число.

- Количество двузначных нечетных чисел: первая цифра может быть любой из 3, последняя — только 5. Всего $3 \times 1 = 3$ числа.

- Количество трехзначных нечетных чисел: первые две цифры могут быть любыми из 3, последняя — только 5. Всего $3 \times 3 \times 1 = 9$ чисел.

- Количество четырехзначных нечетных чисел: первые три цифры могут быть любыми из 3, последняя — только 5. Всего $3 \times 3 \times 3 \times 1 = 27$ чисел.

Общее количество нечетных чисел равно сумме: $1 + 3 + 9 + 27 = 40$.

Ответ: 40.

2) четных
Четное число должно оканчиваться на четную цифру. Из набора {2, 4, 5} четными являются цифры 2 и 4.

Следовательно, последняя цифра любого такого числа может быть либо 2, либо 4 (2 варианта). Каждая из предшествующих цифр может быть любой из трех данных цифр {2, 4, 5} (3 варианта).

- Количество однозначных четных чисел: это числа 2 и 4. Всего 2 числа.

- Количество двузначных четных чисел: первая цифра может быть любой из 3, последняя — любой из 2. Всего $3 \times 2 = 6$ чисел.

- Количество трехзначных четных чисел: первые две цифры могут быть любыми из 3, последняя — любой из 2. Всего $3 \times 3 \times 2 = 18$ чисел.

- Количество четырехзначных четных чисел: первые три цифры могут быть любыми из 3, последняя — любой из 2. Всего $3 \times 3 \times 3 \times 2 = 54$ числа.

Общее количество четных чисел равно сумме: $2 + 6 + 18 + 54 = 80$.

Ответ: 80.

2.39. На уроке к доске были вызваны 5 учеников. Известно, что ни один из них не получит «двойку». Сколькими способами можно поставить им оценки?

По условию задачи, к доске были вызваны 5 учеников. Стандартный набор оценок в школе включает «2», «3», «4», «5». В задаче сказано, что ни один из учеников не получит «двойку». Это означает, что для каждого ученика возможны только три оценки: «3», «4» или «5».

Мы имеем 5 учеников, и для каждого из них есть 3 варианта оценки. Выбор оценки для одного ученика не влияет на выбор оценки для другого. Следовательно, эти события являются независимыми.

Чтобы найти общее количество способов поставить оценки, мы должны использовать правило умножения в комбинаторике. Для каждого из 5 учеников существует 3 возможных исхода (оценки). Общее число комбинаций будет произведением числа исходов для каждого ученика:

Количество способов = (варианты для 1-го ученика) × (варианты для 2-го ученика) × (варианты для 3-го ученика) × (варианты для 4-го ученика) × (варианты для 5-го ученика).

Это соответствует нахождению числа размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$, где $n$ — количество возможных оценок, а $k$ — количество учеников. Формула имеет вид:

$N = n^k$

В нашем случае:

• $k = 5$ (количество учеников)
• $n = 3$ (количество возможных оценок: {3, 4, 5})

Подставляем значения в формулу:

$N = 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$

Таким образом, существует 243 различных способа выставить оценки пяти ученикам.

Ответ: 243

2.40. Сколькими способами можно поделить между 4 учениками поровну 12 учебников?

Данная задача решается методами комбинаторики. Требуется найти количество способов разделить 12 различных учебников между 4 учениками поровну. Это означает, что каждый ученик получит по $12 / 4 = 3$ учебника. Поскольку и учебники, и ученики являются различными (различимыми), мы имеем дело с задачей на упорядоченные разбиения множества.

Решение можно найти, последовательно распределяя учебники по ученикам.

Количество способов выбрать 3 учебника из 12 для первого ученика равно числу сочетаний $C_{12}^3$: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$ способов.

После того как первый ученик получил свои книги, осталось 9 учебников. Количество способов выбрать 3 из них для второго ученика: $C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$ способа.

Далее, для третьего ученика выбираем 3 учебника из оставшихся 6: $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$ способов.

Четвертому ученику достаются оставшиеся 3 учебника, что можно сделать только одним способом: $C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1$ способ.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов равно произведению числа способов для каждого ученика: $N = C_{12}^3 \cdot C_9^3 \cdot C_6^3 \cdot C_3^3 = 220 \cdot 84 \cdot 20 \cdot 1 = 369600$.

Также можно использовать формулу для числа упорядоченных разбиений (мультиномиальный коэффициент) для множества из 12 элементов на 4 группы по 3 элемента в каждой: $N = \frac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 3!} = \frac{12!}{(3!)^4} = \frac{479001600}{1296} = 369600$.

Ответ: 369600

2.41. Нужно поделить 30 учеников на подгруппы по 10 человек для изучения английского, немецкого и французского языков. Сколькими способами это можно сделать?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам необходимо разделить 30 учеников на три именованные группы (для английского, немецкого и французского языков) по 10 человек в каждой. Поскольку группы имеют разное назначение, порядок их формирования важен.

Разобьем процесс на последовательные шаги:

1. Выбор группы для изучения английского языка. Нужно выбрать 10 учеников из 30. Порядок выбора учеников внутри группы не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество способов выбрать 10 учеников из 30: $C_{30}^{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} = \frac{30!}{10!20!}$.

2. Выбор группы для изучения немецкого языка. После того как первая группа сформирована, у нас осталось 20 учеников. Из них нужно выбрать 10 человек.

Количество способов выбрать 10 учеников из оставшихся 20: $C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!}$.

3. Выбор группы для изучения французского языка. Осталось 10 учеников, которые и составят последнюю группу. Существует только один способ выбрать 10 человек из 10.

Количество способов: $C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1$.

Чтобы найти общее количество способов разделения, необходимо перемножить количество способов на каждом шаге (согласно правилу произведения в комбинаторике):

Общее число способов = $C_{30}^{10} \times C_{20}^{10} \times C_{10}^{10}$.

Подставим значения:

$N = \frac{30!}{10!20!} \times \frac{20!}{10!10!} \times 1 = \frac{30!}{10! \cdot 20!} \cdot \frac{20!}{10! \cdot 10!}$.

Сократив $20!$ в числителе и знаменателе, получаем окончательную формулу:

$N = \frac{30!}{10!10!10!}$.

Это выражение известно как полиномиальный коэффициент $\binom{30}{10, 10, 10}$ и представляет собой количество способов разбить множество из 30 элементов на три упорядоченные (различимые) группы по 10 элементов в каждой.

Ответ: $\frac{30!}{10!10!10!}$

2.42. В круговом турнире по шахматам двое участников, сыгравших по три партии, выбыли из турнира по состоянию здоровья. В турнире было сыграно всего 16 партий. Сколько участников было в турнире первоначально?

Пусть $n$ — первоначальное количество участников турнира. По условию, двое участников выбыли, сыграв по три партии. Это означает, что $n-2$ участника доиграли турнир до конца.

Общее количество сыгранных в турнире партий (16) складывается из двух компонентов:
1. Количество партий, сыгранных между собой $n-2$ участниками, которые остались в турнире до конца.
2. Количество партий, сыгранных двумя выбывшими участниками.

Количество партий в круговом турнире между $k$ участниками вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_k^2 = \frac{k(k-1)}{2}$.Следовательно, $n-2$ оставшихся участника сыграли между собой $\frac{(n-2)(n-2-1)}{2} = \frac{(n-2)(n-3)}{2}$ партий.

Теперь рассмотрим партии, сыгранные двумя выбывшими участниками. Каждый из них сыграл по 3 партии. Здесь возможны два сценария.

Случай 1: Выбывшие участники сыграли партию между собой.
В этом случае одна из трех партий каждого из выбывших была сыграна друг с другом. Чтобы найти общее количество уникальных партий с их участием, нужно сложить количество их партий и вычесть одну (ту, что они сыграли между собой), чтобы избежать двойного счета: $3 + 3 - 1 = 5$ партий.
Тогда общее уравнение для количества партий в турнире выглядит так:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} + 5 = 16$
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} = 11$
$(n-2)(n-3) = 22$
Это уравнение требует, чтобы произведение двух последовательных целых чисел, $(n-3)$ и $(n-2)$, равнялось 22. Таких целых чисел не существует ($4 \times 5 = 20$, а $5 \times 6 = 30$). Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Выбывшие участники не играли между собой.
В этом случае все партии, сыгранные каждым из выбывших, были против участников, которые остались в турнире. Общее количество партий, сыгранных этими двумя участниками, равно сумме их индивидуальных партий: $3 + 3 = 6$ партий.
Уравнение для общего числа партий принимает вид:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} + 6 = 16$
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} = 10$
$(n-2)(n-3) = 20$
Нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 20. Этими числами являются 4 и 5.
Следовательно, $n-3=4$ и $n-2=5$. Оба уравнения дают один и тот же результат: $n=7$.
Проверим это решение: если изначально было 7 участников, а 2 выбыли, то осталось 5. Эти 5 участников сыграли между собой $\frac{5 \times 4}{2} = 10$ партий. Два выбывших участника сыграли 6 партий ($3+3$). Итого: $10 + 6 = 16$ партий. Это соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в турнире было 7 участников.

2.43. Докажите тождества:

1) $C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \dots + \frac{1}{n+1}C_n^n = \frac{2^{n+1}-1}{n+1};$

2) $C_n^1 + 2C_n^2 + \dots + nC_n^n = n2^{n-1};$

3) $C_n^1 - 2C_n^2 + \dots + (-1)^{n-1}nC_n^n = 0.$

1) Для доказательства данного тождества воспользуемся биномом Ньютона и интегрированием. Формула бинома Ньютона имеет вид: $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n$.
Проинтегрируем обе части этого равенства по $x$ в пределах от $0$ до $1$:
$\int_0^1 (1+x)^n dx = \int_0^1 (C_n^0 + C_n^1 x + \dots + C_n^n x^n) dx$.
Вычислим интеграл в левой части:
$\int_0^1 (1+x)^n dx = \left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{(1+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.
Теперь вычислим интеграл в правой части:
$\int_0^1 \left(\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k\right) dx = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \int_0^1 x^k dx = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \frac{1}{k+1} = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \dots + \frac{1}{n+1}C_n^n$.
Приравнивая результаты вычисления левой и правой частей, получаем требуемое тождество.
Ответ: $C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \dots + \frac{1}{n+1}C_n^n = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.

2) Для доказательства этого тождества воспользуемся биномом Ньютона и дифференцированием. Рассмотрим формулу бинома Ньютона: $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n$.
Продифференцируем обе части этого равенства по $x$:
$\frac{d}{dx}(1+x)^n = \frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k\right)$.
Производная левой части: $\frac{d}{dx}(1+x)^n = n(1+x)^{n-1}$.
Производная правой части: $\frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k\right) = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \frac{d}{dx}(x^k) = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k x^{k-1} = C_n^1 + 2C_n^2 x + \dots + nC_n^n x^{n-1}$.
Таким образом, мы получили тождество: $n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k x^{k-1}$.
Подставим в это тождество значение $x=1$:
$n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k (1)^{k-1}$.
$n2^{n-1} = C_n^1 + 2C_n^2 + \dots + nC_n^n$.
Тождество доказано.
Ответ: $C_n^1 + 2C_n^2 + \dots + nC_n^n = n2^{n-1}$.

3) Для доказательства этого тождества воспользуемся результатом, полученным при решении предыдущего пункта. Мы установили тождество: $n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k x^{k-1}$.
Это равенство представляет собой $n(1+x)^{n-1} = C_n^1 + 2C_n^2 x + 3C_n^3 x^2 + \dots + nC_n^n x^{n-1}$.
Подставим в это тождество значение $x=-1$.
Левая часть при $x=-1$ равна: $n(1+(-1))^{n-1} = n \cdot 0^{n-1}$.
Заметим, что при $n=1$ левая часть равна $1 \cdot 0^0 = 1$ (так как $0^0$ в контексте биномиальных рядов обычно принимается за 1), а правая часть $C_1^1 = 1$. Однако в условии задачи правая часть равна 0. Это означает, что тождество неверно для $n=1$. Будем доказывать его для $n \ge 2$.
При $n \ge 2$, имеем $n-1 \ge 1$, поэтому $0^{n-1} = 0$. Таким образом, левая часть равна $n \cdot 0 = 0$.
Правая часть при $x=-1$ равна:
$\sum_{k=1}^{n} k C_n^k (-1)^{k-1} = C_n^1 (-1)^0 + 2C_n^2 (-1)^1 + 3C_n^3 (-1)^2 + \dots + nC_n^n (-1)^{n-1} = C_n^1 - 2C_n^2 + 3C_n^3 - \dots + (-1)^{n-1}nC_n^n$.
Приравнивая левую и правую части при $x=-1$ для $n \ge 2$, получаем:
$0 = C_n^1 - 2C_n^2 + \dots + (-1)^{n-1}nC_n^n$.
Что и требовалось доказать (при условии $n \ge 2$).
Ответ: $C_n^1 - 2C_n^2 + \dots + (-1)^{n-1}nC_n^n = 0$ (для $n \ge 2$).