Страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Для участия в турнире по баскетболу тренер из 14 юношей отобрал 5. Известно, что определенные два юноши обязательно войдут в состав команды. Сколькими способами тренер может составить команду?

По условию задачи, тренер должен сформировать команду из 5 человек, выбрав их из 14 юношей. Важным условием является то, что два определенных юноши уже гарантированно включены в состав команды.

Это означает, что 2 места в команде из 5 уже заняты. Следовательно, тренеру осталось выбрать еще $5 - 2 = 3$ игрока.

Кандидатов, из которых нужно делать выбор, также стало меньше. Поскольку 2 юноши уже отобраны, выбирать оставшихся нужно из $14 - 2 = 12$ человек.

Задача сводится к нахождению числа способов выбрать 3 игроков из 12. Так как порядок выбора игроков для формирования команды не имеет значения, мы используем формулу для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, $n = 12$ (количество кандидатов, из которых нужно выбрать) и $k = 3$ (количество свободных мест в команде).

Подставим эти значения в формулу:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!}$

Распишем факториалы и проведем вычисления:

$C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3 \times 2 \times 1 \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

Таким образом, существует 220 способов составить команду при заданных условиях.

Ответ: 220.

2.28. Сколько параллелограммов может образоваться в результате пересечения $n$ параллельных прямых с другими $m$ параллельными прямыми?

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Для того чтобы построить параллелограмм в условиях задачи, необходимо выбрать две прямые из одного семейства параллельных прямых и две прямые из другого.

У нас есть два семейства прямых:

• Первое семейство, состоящее из $n$ параллельных прямых.
• Второе семейство, состоящее из $m$ параллельных прямых.

Прямые из разных семейств пересекаются, образуя сетку, как показано на рисунке ниже (для примера $n=4$, $m=4$). Любой параллелограмм в этой сетке однозначно определяется выбором двух прямых из первого семейства и двух прямых из второго.

Задача сводится к подсчету количества способов выбрать эти прямые. Это комбинаторная задача.

1. Найдем количество способов выбрать 2 прямые из первого семейства, в котором $n$ прямых. Так как порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

2. Аналогично, найдем количество способов выбрать 2 прямые из второго семейства, в котором $m$ прямых: $C_m^2 = \binom{m}{2} = \frac{m!}{2!(m-2)!} = \frac{m(m-1)(m-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (m-2)!} = \frac{m(m-1)}{2}$

3. По правилу произведения в комбинаторике, общее количество параллелограммов равно произведению числа способов выбора прямых из каждого семейства, так как выбор пары прямых из первого семейства и выбор пары прямых из второго являются независимыми событиями.

Общее число параллелограммов $N$ вычисляется как: $N = C_n^2 \times C_m^2 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{m(m-1)}{2}$

Ответ: $\frac{n(n-1)m(m-1)}{4}$

2.29. На книжной полке 8 книг по математике и 5 книг по физике. Сколькими разными способами можно взять 3 книги по математике и 2 книги по физике?

Эта задача решается с помощью комбинаторики, а именно — с помощью формулы для числа сочетаний, так как порядок выбора книг не имеет значения. Нам нужно найти количество способов для двух независимых событий (выбор книг по математике и выбор книг по физике) и затем перемножить эти количества.

1. Найдем количество способов выбрать 3 книги по математике из 8.

Используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

В нашем случае $n=8$ (всего книг по математике), $k=3$ (нужно выбрать книг по математике).

Количество способов выбрать книги по математике:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 8 \times 7 = 56$ способов.

2. Найдем количество способов выбрать 2 книги по физике из 5.

Здесь $n=5$ (всего книг по физике), $k=2$ (нужно выбрать книг по физике).

Количество способов выбрать книги по физике:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ способов.

3. Найдем общее количество способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов совершить оба выбора, нужно перемножить количество способов для каждого выбора.

Общее количество способов = (способы выбрать книги по математике) × (способы выбрать книги по физике).

$N = C_8^3 \times C_5^2 = 56 \times 10 = 560$.

Ответ: 560.

2.30. Сколькими разными способами можно посадить 8 человек в 2 легковые автомашины так, чтобы в каждой автомашине было не менее 3 человек?

Для решения задачи определим все возможные варианты распределения 8 человек по двум машинам с учетом ограничения, что в каждой машине должно быть не менее 3 человек. Предполагается, что машины различны (например, Машина 1 и Машина 2), поэтому важен не только состав групп, но и то, в какую машину какая группа сядет.

Пусть $n_1$ — количество человек в первой машине, а $n_2$ — во второй. Условия задачи можно записать в виде системы:

1. $n_1 + n_2 = 8$

2. $n_1 \ge 3$

3. $n_2 \ge 3$

Рассмотрим все возможные целочисленные пары $(n_1, n_2)$, удовлетворяющие этим условиям. Перебирая значения для $n_1$:

- Если $n_1 = 3$, то $n_2 = 8 - 3 = 5$. Это удовлетворяет условию $n_2 \ge 3$. Распределение (3, 5).

- Если $n_1 = 4$, то $n_2 = 8 - 4 = 4$. Это удовлетворяет условию $n_2 \ge 3$. Распределение (4, 4).

- Если $n_1 = 5$, то $n_2 = 8 - 5 = 3$. Это удовлетворяет условию $n_2 \ge 3$. Распределение (5, 3).

Если $n_1 \ge 6$, то $n_2 \le 2$, что нарушает условие $n_2 \ge 3$.

Таким образом, существуют три взаимоисключающих варианта распределения людей. Найдем количество способов для каждого варианта и сложим их.

Случай 1: 3 человека в первой машине и 5 во второй

Необходимо выбрать 3 человека из 8 для первой машины. Порядок выбора людей не важен, поэтому используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 3 человека из 8:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

Оставшиеся 5 человек однозначно садятся во вторую машину ($C_5^5 = 1$ способ). Таким образом, для этого случая существует 56 способов.

Случай 2: 4 человека в первой машине и 4 во второй

Необходимо выбрать 4 человека из 8 для первой машины.

Число способов выбрать 4 человека из 8:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Оставшиеся 4 человека садятся во вторую машину. Таким образом, для этого случая существует 70 способов.

Случай 3: 5 человек в первой машине и 3 во второй

Необходимо выбрать 5 человек из 8 для первой машины.

Число способов выбрать 5 человек из 8:

$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

Оставшиеся 3 человека садятся во вторую машину. Таким образом, для этого случая существует 56 способов.

Итоговый подсчет

Общее количество способов равно сумме способов для всех трех рассмотренных случаев, так как они являются взаимоисключающими:

$N_{общ} = 56 + 70 + 56 = 182$

Ответ: 182.

2.31. Сколькими разными способами можно выбрать две согласные и одну гласную буквы из слова «логарифм»?

Для решения задачи необходимо определить количество гласных и согласных букв в слове «логарифм», а затем использовать правила комбинаторики для нахождения числа способов выбора.

1. Сначала проанализируем состав букв в слове. Слово «логарифм» состоит из 8 уникальных букв.

• Гласные буквы: о, а, и. Всего 3 гласные.

• Согласные буквы: л, г, р, ф, м. Всего 5 согласных.

2. По условию, необходимо выбрать две согласные и одну гласную. Задача решается в два этапа:

Выбор двух согласных букв.

Нужно выбрать 2 согласные из 5 имеющихся. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

Для согласных $n=5$ и $k=2$.

Число способов выбрать две согласные: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Выбор одной гласной буквы.

Нужно выбрать 1 гласную из 3 имеющихся. Здесь $n=3$ и $k=1$.

Число способов выбрать одну гласную: $C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3}{1} = 3$.

3. Нахождение общего количества способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов выбора согласных и числа способов выбора гласных.

Общее количество способов = (Число способов выбрать 2 согласные) × (Число способов выбрать 1 гласную) = $10 \times 3 = 30$.

Ответ: 30

2.32. Сколько четных чисел, меньших, чем $10^4$, можно написать с помощью цифр 0, 4, 5?

Для решения этой задачи нам нужно подсчитать количество четных чисел, которые меньше $10^4$ и могут быть записаны с помощью цифр 0, 4, 5. Число меньше $10^4$ может быть однозначным, двузначным, трехзначным или четырехзначным. Число является четным, если его последняя цифра четная. В данном наборе {0, 4, 5} четными являются цифры 0 и 4. Разобьем задачу на случаи в зависимости от количества цифр в числе.

1. Однозначные четные числа
Из набора цифр {0, 4, 5} четными являются 0 и 4. Число 0 также считается четным. Таким образом, есть 2 однозначных четных числа, которые можно составить.

2. Двузначные четные числа
Двузначное число имеет две цифры. Первая цифра (разряд десятков) не может быть нулем, чтобы число было двузначным. Следовательно, для первой цифры есть 2 варианта: 4 или 5. Вторая цифра (разряд единиц) должна быть четной, чтобы все число было четным. Для нее также есть 2 варианта: 0 или 4. Используя правило произведения в комбинаторике, получаем общее количество двузначных четных чисел: $2 \times 2 = 4$.

3. Трехзначные четные числа
Трехзначное число состоит из трех цифр. Первая цифра не может быть нулем, поэтому для нее есть 2 варианта (4 или 5). Вторая цифра может быть любой из трех доступных цифр {0, 4, 5}, то есть 3 варианта. Последняя цифра должна быть четной, что дает 2 варианта (0 или 4). Общее количество трехзначных четных чисел: $2 \times 3 \times 2 = 12$.

4. Четырехзначные четные числа
Четырехзначное число, составленное из данных цифр, гарантированно будет меньше $10^4$. Первая цифра не может быть нулем, значит для нее есть 2 варианта (4 или 5). Вторая и третья цифры могут быть любыми из набора {0, 4, 5}, то есть по 3 варианта для каждой. Последняя цифра должна быть четной, что дает 2 варианта (0 или 4). Общее количество четырехзначных четных чисел: $2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$.

Общее количество
Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно сложить количества, найденные для каждого случая: $2 (\text{однозначные}) + 4 (\text{двузначные}) + 12 (\text{трехзначные}) + 36 (\text{четырехзначные}) = 54$.
Ответ: 54

2.33. В классе 35 учеников. Староста дал заместителю директора следующий отчет об участии учеников класса в спортивных мероприятиях школы: 16 учеников участвовали в турнире по футболу, 15 – по волейболу, 14 – по баскетболу, 4 ученика участвовали в турнирах и по футболу, и по волейболу, 3 – и по волейболу, и по баскетболу, 3 – и по футболу, и по баскетболу, а 2 ученика участвовали во всех трех видах игры. Почему заместитель директора представленный отчет признал не соответствующим действительности?

Для того чтобы определить, почему отчет старосты был признан не соответствующим действительности, необходимо подсчитать общее количество уникальных учеников, которые участвовали хотя бы в одном из спортивных мероприятий, и сравнить это число с общим количеством учеников в классе.

Введем обозначения для множеств учеников, участвовавших в каждом виде спорта:
$Ф$ – множество учеников, игравших в футбол;
$В$ – множество учеников, игравших в волейбол;
$Б$ – множество учеников, игравших в баскетбол.

Из условия задачи нам известны следующие данные:
Количество участников турнира по футболу: $|Ф| = 16$
Количество участников турнира по волейболу: $|В| = 15$
Количество участников турнира по баскетболу: $|Б| = 14$
Участвовали в турнирах по футболу и волейболу: $|Ф \cap В| = 4$
Участвовали в турнирах по волейболу и баскетболу: $|В \cap Б| = 3$
Участвовали в турнирах по футболу и баскетболу: $|Ф \cap Б| = 3$
Участвовали во всех трех турнирах: $|Ф \cap В \cap Б| = 2$

Для нахождения общего числа учеников, принявших участие хотя бы в одном из мероприятий (мощности объединения множеств $Ф$, $В$ и $Б$), воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств:

$|Ф \cup В \cup Б| = |Ф| + |В| + |Б| - (|Ф \cap В| + |Ф \cap Б| + |В \cap Б|) + |Ф \cap В \cap Б|$

Теперь подставим в формулу числовые значения из отчета старосты:

$|Ф \cup В \cup Б| = 16 + 15 + 14 - (4 + 3 + 3) + 2$

Выполним вычисления:

$|Ф \cup В \cup Б| = 45 - 10 + 2 = 37$

Согласно расчетам, основанным на данных из отчета, общее количество учеников, принявших участие в спортивных мероприятиях, составляет 37 человек. Однако по условию задачи в классе всего 35 учеников. Количество участников не может превышать общее количество учеников в классе.

Эту же информацию можно наглядно представить с помощью диаграммы Эйлера-Венна. Сначала найдем количество учеников в каждой отдельной секции диаграммы, двигаясь от центра к краям.

1. Участвовали во всех трех видах спорта: $2$ ученика.
2. Участвовали только в футболе и волейболе: $|Ф \cap В| - |Ф \cap В \cap Б| = 4 - 2 = 2$ ученика.
3. Участвовали только в футболе и баскетболе: $|Ф \cap Б| - |Ф \cap В \cap Б| = 3 - 2 = 1$ ученик.
4. Участвовали только в волейболе и баскетболе: $|В \cap Б| - |Ф \cap В \cap Б| = 3 - 2 = 1$ ученик.
5. Участвовали только в футболе: $|Ф| - (2 + 1 + 2) = 16 - 5 = 11$ учеников.
6. Участвовали только в волейболе: $|В| - (2 + 1 + 2) = 15 - 5 = 10$ учеников.
7. Участвовали только в баскетболе: $|Б| - (1 + 1 + 2) = 14 - 4 = 10$ учеников.

Сложив количество учеников из всех непересекающихся областей диаграммы, мы получим общее число участников:
$11 + 10 + 10 + 2 + 1 + 1 + 2 = 37$ учеников.

Ответ: Заместитель директора признал отчет не соответствующим действительности, потому что, согласно приведенным в отчете данным, общее число уникальных учеников, участвовавших в спортивных мероприятиях, составляет 37, что превышает общее количество учеников в классе (35).

2.34. Каждый из учеников класса является либо девушкой, либо ростом меньше, чем 165 см, либо любит математику. Из 18 девушек класса 14 девушек имеет рост менее 165 см. В целом у 22 учеников класса рост менее 165 см и 12 из них любят математику. Из 18 учеников класса, любящих математику, 8 девушек. Из всех девушек с ростом менее 165 см 6 любят математику. Сколько учеников в классе?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств и принципом включений-исключений. Введем обозначения для трех множеств учеников:

Д — множество девушек в классе.
Р — множество учеников, рост которых меньше 165 см.
М — множество учеников, которые любят математику.

На основе условия задачи определим мощности (количество элементов) этих множеств и их пересечений:

Общее число девушек: $|Д| = 18$.
Общее число учеников ростом менее 165 см: $|Р| = 22$.
Общее число учеников, любящих математику: $|М| = 18$.
Число девушек ростом менее 165 см (пересечение Д и Р): $|Д \cap Р| = 14$.
Число девушек, любящих математику (пересечение Д и М): $|Д \cap М| = 8$.
Число учеников ростом менее 165 см и любящих математику (пересечение Р и М): $|Р \cap М| = 12$.
Число девушек ростом менее 165 см, которые любят математику (пересечение всех трех множеств Д, Р и М): $|Д \cap Р \cap М| = 6$.

В условии сказано, что «Каждый из учеников класса является либо девушкой, либо ростом меньше, чем 165 см, либо любит математику». Это означает, что общее количество учеников в классе равно количеству элементов в объединении трех множеств: $|Д \cup Р \cup М|$.

Для нахождения количества элементов в объединении трех множеств используется формула включений-исключений:

$|Д \cup Р \cup М| = |Д| + |Р| + |М| - (|Д \cap Р| + |Д \cap М| + |Р \cap М|) + |Д \cap Р \cap М|$

Подставим известные значения в формулу:

$|Д \cup Р \cup М| = 18 + 22 + 18 - (14 + 8 + 12) + 6$

Выполним вычисления:

$|Д \cup Р \cup М| = 58 - 34 + 6$

$|Д \cup Р \cup М| = 24 + 6$

$|Д \cup Р \cup М| = 30$

Таким образом, общее количество учеников в классе составляет 30 человек.

Ответ: 30.