Страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.22. Сколькими способами из 35 учеников класса можно отобрать старосту, его заместителя и ответственных за работу редколлегии, за спортивную работу?

В данной задаче необходимо определить количество способов выбора 4-х учеников из 35 на 4 различные должности: староста, его заместитель, ответственный за работу редколлегии и ответственный за спортивную работу. Так как все должности различны, то важен порядок, в котором ученики будут выбраны на эти должности. Например, если ученик А станет старостой, а ученик Б — заместителем, это будет один вариант, а если наоборот — это уже другой вариант.

Задачи такого типа решаются с помощью формулы для нахождения числа размещений. Размещением из $n$ элементов по $k$ называется любое множество, состоящее из $k$ элементов, взятых в определённом порядке из данных $n$ элементов. Число размещений из $n$ по $k$ обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$

В нашем случае общее количество учеников $n = 35$, а количество должностей, на которые нужно выбрать учеников, $k = 4$.

Можно рассуждать и пошагово, используя правило произведения:

1. На должность старосты можно выбрать любого из 35 учеников. Количество способов: 35.

2. После выбора старосты на должность его заместителя можно выбрать любого из оставшихся 34 учеников. Количество способов: 34.

3. На должность ответственного за работу редколлегии можно выбрать любого из оставшихся 33 учеников. Количество способов: 33.

4. На должность ответственного за спортивную работу можно выбрать любого из оставшихся 32 учеников. Количество способов: 32.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить число способов для каждого шага:

$A_{35}^4 = 35 \times 34 \times 33 \times 32$

Произведем вычисления:

$35 \times 34 = 1190$

$1190 \times 33 = 39270$

$39270 \times 32 = 1256640$

Следовательно, существует 1 256 640 способов распределить должности между учениками.

Ответ: 1 256 640.

2.23. Сколькими способами можно составить четырехзначное число, в котором:

1) цифры могут повторяться;

2) цифры не повторяются?

1) цифры могут повторяться;
Для составления четырехзначного числа необходимо определить, сколько вариантов существует для каждой из четырех позиций (разрядов) в числе: тысяч, сотен, десятков и единиц.
На первой позиции (разряд тысяч) может стоять любая цифра от 1 до 9. Ноль на этой позиции стоять не может, иначе число не будет четырехзначным. Таким образом, для первой позиции существует 9 вариантов.
На второй позиции (разряд сотен) может стоять любая цифра от 0 до 9, так как по условию цифры могут повторяться. Это дает 10 вариантов.
Аналогично, для третьей позиции (разряд десятков) также существует 10 вариантов.
И для четвертой позиции (разряд единиц) тоже 10 вариантов.
Чтобы найти общее количество возможных четырехзначных чисел, мы используем комбинаторное правило произведения, перемножая количество вариантов для каждой позиции:
$N = 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$.
Ответ: 9000.

2) цифры не повторяются?
В этом случае выбор цифры для каждой следующей позиции зависит от того, какие цифры были выбраны ранее, так как они не могут повторяться.
На первой позиции (разряд тысяч) по-прежнему может стоять любая цифра от 1 до 9. Это 9 вариантов.
На второй позиции (разряд сотен) может стоять любая из 10 цифр, за исключением той, которая уже использована на первой позиции. Следовательно, для второй позиции остается $10 - 1 = 9$ вариантов.
На третьей позиции (разряд десятков) может стоять любая цифра, кроме двух уже использованных на первой и второй позициях. Таким образом, остается $10 - 2 = 8$ вариантов.
На четвертой позиции (разряд единиц) может стоять любая цифра, кроме трех, которые уже заняты на предыдущих позициях. Остается $10 - 3 = 7$ вариантов.
Общее количество способов, как и в первом случае, находим по правилу произведения:
$N = 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$.
Ответ: 4536.

2.24. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «логарифм» так, чтобы на втором, четвертом и шестом местах находились гласные буквы?

В слове «логарифм» 8 букв, все они различны. Выделим в этом слове гласные и согласные буквы.

Гласные: о, а, и (всего 3 буквы).

Согласные: л, г, р, ф, м (всего 5 букв).

По условию задачи, на втором, четвертом и шестом местах должны находиться гласные буквы. У нас есть 3 гласные буквы и 3 фиксированные позиции для них. Число способов, которыми можно разместить 3 различные гласные буквы на этих 3 позициях, равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.

Оставшиеся 5 букв — согласные. Их нужно разместить на оставшихся 5 позициях (первой, третьей, пятой, седьмой и восьмой). Число способов, которыми можно разместить 5 различных согласных букв на 5 позициях, равно числу перестановок из 5 элементов:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

Для нахождения общего числа способов перестановки букв в слове по заданному правилу необходимо перемножить число способов размещения гласных и число способов размещения согласных (согласно правилу произведения в комбинаторике):

$N = P_3 \times P_5 = 6 \times 120 = 720$ способов.

Ответ: 720

2.25. Если лист бумаги, в котором написаны цифры, повернуть на $180^\circ$, то цифры 0, 1, 8 не меняются, а цифры 6 и 9 переходят один к другому. Сколько существует пятизначных чисел, которые не меняются при повороте бумаги на $180^\circ$?

Для того чтобы пятизначное число не менялось при повороте на 180°, оно должно состоять только из цифр, которые при таком повороте либо не меняются, либо переходят друг в друга. Согласно условию, это цифры 0, 1, 8 (не меняются) и 6, 9 (переходят друг в друга). Остальные цифры (2, 3, 4, 5, 7) при повороте изменят свой вид, поэтому их использовать нельзя.

Пусть искомое пятизначное число имеет вид $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$. При повороте листа на 180° порядок цифр становится обратным, и сами цифры также поворачиваются. Чтобы число осталось неизменным, повернутая первая цифра должна совпасть с исходной пятой, повернутая вторая — с исходной четвертой, а повернутая третья (центральная) должна остаться той же. Обозначив операцию поворота цифры как $R$, можно записать следующие условия:

$d_5 = R(d_1)$

$d_4 = R(d_2)$

$d_3 = R(d_3)$

Рассмотрим количество возможных вариантов для каждой позиции, учитывая, что $d_1 \neq 0$, так как число является пятизначным.

1. Выбор центральной цифры $d_3$.
Эта цифра должна быть симметричной относительно поворота, то есть $d_3 = R(d_3)$. Этому условию удовлетворяют цифры 0, 1 и 8. Таким образом, для $d_3$ есть 3 возможных варианта.

2. Выбор первой ($d_1$) и пятой ($d_5$) цифр.
Эти цифры образуют пару, связанную соотношением $d_5 = R(d_1)$. Первая цифра $d_1$ не может быть нулем. Следовательно, для $d_1$ можно выбрать одну из цифр 1, 8, 6 или 9.

• Если $d_1 = 1$, то $d_5 = R(1) = 1$.
• Если $d_1 = 8$, то $d_5 = R(8) = 8$.
• Если $d_1 = 6$, то $d_5 = R(6) = 9$.
• Если $d_1 = 9$, то $d_5 = R(9) = 6$.

Итого, существует 4 варианта для выбора цифры $d_1$. Выбор $d_1$ однозначно определяет цифру $d_5$.

3. Выбор второй ($d_2$) и четвертой ($d_4$) цифр.
Эта пара цифр связана соотношением $d_4 = R(d_2)$. Для $d_2$ можно использовать любую из допустимых цифр: 0, 1, 8, 6, 9.

• Если $d_2 = 0$, то $d_4 = R(0) = 0$.
• Если $d_2 = 1$, то $d_4 = R(1) = 1$.
• Если $d_2 = 8$, то $d_4 = R(8) = 8$.
• Если $d_2 = 6$, то $d_4 = R(6) = 9$.
• Если $d_2 = 9$, то $d_4 = R(9) = 6$.

Таким образом, для второй цифры $d_2$ существует 5 вариантов выбора. Выбор $d_2$ однозначно определяет цифру $d_4$.

Чтобы найти общее количество таких пятизначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой независимой позиции (или пары позиций), используя правило произведения в комбинаторике.

Общее количество чисел = (количество вариантов для $d_1$) $\times$ (количество вариантов для $d_2$) $\times$ (количество вариантов для $d_3$).

Количество чисел = $4 \times 5 \times 3 = 60$.

Ответ: 60.

2.26. В пассажирском поезде имеются 15 вагонов. Сколькими способами можно рассадить трех путников по разным вагонам?

Данная задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно найти количество способов разместить 3-х путников в 15 вагонах так, чтобы все они оказались в разных вагонах. Поскольку путники являются различными (уникальными личностями), и вагоны тоже различны (пронумерованы), порядок их размещения имеет значение. Это означает, что мы ищем число размещений без повторений.

Можно рассуждать последовательно:

1. Для первого путника существует 15 свободных вагонов, в любой из которых он может сесть. Таким образом, у него есть 15 вариантов выбора.

2. После того как первый путник занял один вагон, для второго путника остается $15 - 1 = 14$ свободных вагонов, так как по условию они должны быть в разных вагонах. У второго путника 14 вариантов выбора.

3. Третий путник должен занять вагон, отличный от тех, в которых уже находятся первые два. Для него остается $14 - 1 = 13$ свободных вагонов. У третьего путника 13 вариантов выбора.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить число вариантов для каждого путника согласно правилу произведения в комбинаторике:

Общее число способов = $15 \times 14 \times 13$

Это соответствует формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$ (в нашем случае из 15 по 3), которая обозначается как $A_n^k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Подставим наши значения $n = 15$ и $k = 3$:

$A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{12!} = 15 \times 14 \times 13$

Теперь вычислим результат:

$15 \times 14 = 210$

$210 \times 13 = 2730$

Следовательно, существует 2730 способов рассадить трех путников по разным вагонам.

Ответ: 2730