Страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Сколькими способами можно расставить 5 шашек на черных клетках шахматной доски?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать 5 клеток для расстановки 5 шашек из всех доступных черных клеток на шахматной доске. Поскольку шашки считаются неразличимыми (одинаковыми), а порядок их установки на выбранные клетки не важен, задача сводится к вычислению числа сочетаний.

1. Определение общего числа доступных позиций.
Стандартная шахматная доска имеет размер 8x8, что в сумме составляет 64 клетки. Ровно половина из них — черные.
Следовательно, общее число черных клеток $n$ равно:
$n = \frac{64}{2} = 32$

2. Определение количества выбираемых элементов.
Согласно условию, необходимо расставить $k = 5$ шашек.

3. Использование формулы числа сочетаний.
Число способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, без учета порядка, определяется формулой числа сочетаний:
$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

4. Расчет.
Подставим в формулу наши значения $n=32$ и $k=5$:
$C_{32}^5 = \frac{32!}{5!(32-5)!} = \frac{32!}{5! \cdot 27!}$
Для вычисления раскроем факториалы и сократим одинаковые члены:
$C_{32}^5 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27!}{ (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 27!} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$
Упростим выражение, сокращая множители в числителе и знаменателе:
$C_{32}^5 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{120}$
Можно выполнить сокращение поэтапно:
$C_{32}^5 = \frac{32}{4 \times 2} \times 31 \times \frac{30}{5 \times 3} \times 29 \times 28 = 4 \times 31 \times 2 \times 29 \times 28$
Перегруппируем для удобства:
$C_{32}^5 = (4 \times 2) \times 31 \times 29 \times 28 = 8 \times 31 \times 29 \times 28$
Это неверное сокращение. Вернемся к исходной дроби и сократим аккуратнее:
Знаменатель: $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Числитель: $32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28$.
$C_{32}^5 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{120} = 32 \times 31 \times \frac{30}{120} \times 29 \times 28 = 32 \times 31 \times \frac{1}{4} \times 29 \times 28$
$C_{32}^5 = \frac{32}{4} \times 31 \times 29 \times 28 = 8 \times 31 \times 29 \times 28$
Вычислим произведение:
$8 \times 31 = 248$
$29 \times 28 = 812$
$248 \times 812 = 201376$

Таким образом, существует 201 376 способов расставить 5 шашек на 32 черные клетки шахматной доски.

Ответ: 201 376.

2.15. У одного ученика имеются 7 книг, а у второго – 8 книг.
Сколькими способами они могут произвести обмен книгами два на два?

Для того чтобы ученики совершили обмен "два на два", первый ученик должен выбрать две книги из своих семи, а второй ученик должен выбрать две книги из своих восьми. Эти выборы являются независимыми друг от друга событиями.

1. Определим, сколькими способами первый ученик может выбрать 2 книги из 7. Так как порядок выбора книг не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Для первого ученика $n=7$, $k=2$. Число способов равно:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{42}{2} = 21$ способ.

2. Определим, сколькими способами второй ученик может выбрать 2 книги из 8. Здесь $n=8$, $k=2$. Число способов равно:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8}{2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{56}{2} = 28$ способов.

3. Чтобы найти общее число способов обмена, нужно перемножить количество способов выбора книг для каждого ученика, согласно правилу произведения в комбинаторике. Каждому выбору первого ученика соответствует любой выбор второго ученика.

Общее количество способов обмена = (число способов для первого ученика) × (число способов для второго ученика).

Общее количество способов = $C_7^2 \times C_8^2 = 21 \times 28 = 588$.

Ответ: 588.

2.16. Сколько способами можно разместить 6 монет разного достоинства по двум карманам?

Для решения этой задачи мы имеем 6 различных объектов (монеты разного достоинства) и 2 различных контейнера (кармана), в которые нужно эти объекты разместить.

Рассмотрим каждую монету последовательно. Для первой монеты есть два варианта выбора: ее можно положить в первый карман или во второй.

Независимо от того, куда мы положили первую монету, для второй монеты также существует два варианта размещения: первый карман или второй.

То же самое справедливо для каждой из оставшихся монет. Таким образом, для каждой из 6 монет есть 2 возможных выбора.

Согласно основному правилу комбинаторики (правилу произведения), общее количество способов размещения равно произведению числа вариантов для каждой монеты.

Число способов $N$ будет равно:

$N = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6$

Вычислим результат:

$2^6 = 64$

Таким образом, существует 64 различных способа разместить 6 монет разного достоинства по двум карманам. Это включает в себя случаи, когда один из карманов может остаться пустым.

Ответ: 64

2.17. Сколько существует трехзначных чисел, делящихся на 2, на 5 или на 7?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений. Нам нужно найти количество трехзначных чисел (от 100 до 999), которые делятся на 2, или на 5, или на 7.

Обозначим:
$A$ — множество трехзначных чисел, делящихся на 2.
$B$ — множество трехзначных чисел, делящихся на 5.
$C$ — множество трехзначных чисел, делящихся на 7.

Искомое количество чисел равно мощности объединения этих множеств $|A \cup B \cup C|$. Согласно принципу включений-исключений для трех множеств:

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$

Для нахождения количества чисел, кратных $k$ в диапазоне $[m, n]$, используется формула: $\lfloor \frac{n}{k} \rfloor - \lfloor \frac{m-1}{k} \rfloor$. В нашем случае $m=100, n=999$.

1. Количество чисел, делящихся на 2 ($|A|$)
$|A| = \lfloor \frac{999}{2} \rfloor - \lfloor \frac{100-1}{2} \rfloor = \lfloor \frac{999}{2} \rfloor - \lfloor \frac{99}{2} \rfloor = 499 - 49 = 450$.

2. Количество чисел, делящихся на 5 ($|B|$)
$|B| = \lfloor \frac{999}{5} \rfloor - \lfloor \frac{100-1}{5} \rfloor = \lfloor \frac{999}{5} \rfloor - \lfloor \frac{99}{5} \rfloor = 199 - 19 = 180$.

3. Количество чисел, делящихся на 7 ($|C|$)
$|C| = \lfloor \frac{999}{7} \rfloor - \lfloor \frac{100-1}{7} \rfloor = \lfloor \frac{999}{7} \rfloor - \lfloor \frac{99}{7} \rfloor = 142 - 14 = 128$.

4. Количество чисел, делящихся на 2 и 5 (на 10, $|A \cap B|$)
Число должно делиться на НОК(2, 5) = 10.
$|A \cap B| = \lfloor \frac{999}{10} \rfloor - \lfloor \frac{99}{10} \rfloor = 99 - 9 = 90$.

5. Количество чисел, делящихся на 2 и 7 (на 14, $|A \cap C|$)
Число должно делиться на НОК(2, 7) = 14.
$|A \cap C| = \lfloor \frac{999}{14} \rfloor - \lfloor \frac{99}{14} \rfloor = 71 - 7 = 64$.

6. Количество чисел, делящихся на 5 и 7 (на 35, $|B \cap C|$)
Число должно делиться на НОК(5, 7) = 35.
$|B \cap C| = \lfloor \frac{999}{35} \rfloor - \lfloor \frac{99}{35} \rfloor = 28 - 2 = 26$.

7. Количество чисел, делящихся на 2, 5 и 7 (на 70, $|A \cap B \cap C|$)
Число должно делиться на НОК(2, 5, 7) = 70.
$|A \cap B \cap C| = \lfloor \frac{999}{70} \rfloor - \lfloor \frac{99}{70} \rfloor = 14 - 1 = 13$.

Итоговый расчет
Подставим найденные значения в формулу включений-исключений:
$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$
$|A \cup B \cup C| = 450 + 180 + 128 - (90 + 64 + 26) + 13$
$= 758 - 180 + 13$
$= 578 + 13 = 591$.

Ответ: 591

2.18. Сколько существует трехзначных чисел, делящихся только на два из чисел 2, 5, 7 и не делящихся на третье из этих чисел?

Для решения задачи нам нужно рассмотреть три взаимоисключающих случая. Трехзначные числа — это числа в диапазоне от 100 до 999. Мы будем искать количество чисел, которые:

1. Делятся на 2 и 5, но не делятся на 7.

2. Делятся на 2 и 7, но не делятся на 5.

3. Делятся на 5 и 7, но не делятся на 2.

Итоговый результат будет суммой количеств, найденных в каждом из этих трех случаев. Для нахождения количества чисел, кратных $n$, в диапазоне от 100 до 999, будем использовать формулу: $N(n) = \lfloor \frac{999}{n} \rfloor - \lfloor \frac{99}{n} \rfloor$.

Числа, делящиеся на 2 и 5, но не на 7

Число, которое делится на 2 и 5, должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК), равное $2 \times 5 = 10$. Нам нужно найти количество трехзначных чисел, кратных 10, и вычесть из них те, что также кратны 7. Числа, кратные одновременно 10 и 7, делятся на НОК(10, 7) = 70.

Количество трехзначных чисел, кратных 10:
$N(10) = \lfloor \frac{999}{10} \rfloor - \lfloor \frac{99}{10} \rfloor = 99 - 9 = 90$.

Количество трехзначных чисел, кратных 70:
$N(70) = \lfloor \frac{999}{70} \rfloor - \lfloor \frac{99}{70} \rfloor = 14 - 1 = 13$.

Следовательно, количество чисел для этого случая составляет: $90 - 13 = 77$.

Числа, делящиеся на 2 и 7, но не на 5

Число, которое делится на 2 и 7, должно делиться на НОК(2, 7) = 14. Из этих чисел нужно исключить те, которые также делятся на 5, то есть делятся на НОК(14, 5) = 70.

Количество трехзначных чисел, кратных 14:
$N(14) = \lfloor \frac{999}{14} \rfloor - \lfloor \frac{99}{14} \rfloor = 71 - 7 = 64$.

Количество чисел, кратных 70, мы уже вычислили, оно равно 13.

Таким образом, количество чисел для второго случая: $64 - 13 = 51$.

Числа, делящиеся на 5 и 7, но не на 2

Число, которое делится на 5 и 7, должно делиться на НОК(5, 7) = 35. Из этих чисел нужно исключить те, которые также делятся на 2, то есть делятся на НОК(35, 2) = 70.

Количество трехзначных чисел, кратных 35:
$N(35) = \lfloor \frac{999}{35} \rfloor - \lfloor \frac{99}{35} \rfloor = 28 - 2 = 26$.

Количество чисел, кратных 70, равно 13.

Количество чисел для третьего случая: $26 - 13 = 13$.

Общее количество

Чтобы найти общее количество искомых чисел, сложим результаты, полученные в каждом из трех случаев:

$77 + 51 + 13 = 141$.

Ответ: 141.

2.19. Из 35 учеников класса 15 – девушки. Сколькими способами из них можно отобрать:

1) одну девушку и одного юношу;

2) двух юношей;

3) двух девушек?

Для решения задачи сначала определим количество юношей в классе. Всего в классе 35 учеников, из которых 15 — девушки. Следовательно, количество юношей составляет:

$35 - 15 = 20$ юношей.

1) одну девушку и одного юношу

Для выбора одной девушки и одного юноши необходимо использовать правило произведения в комбинаторике. Выбор девушки и выбор юноши — это два независимых события.

Количество способов выбрать одну девушку из 15 равно числу сочетаний из 15 по 1:

$C_{15}^1 = \frac{15!}{1!(15-1)!} = 15$ способов.

Количество способов выбрать одного юношу из 20 равно числу сочетаний из 20 по 1:

$C_{20}^1 = \frac{20!}{1!(20-1)!} = 20$ способов.

Общее число способов отобрать одну девушку и одного юношу равно произведению числа способов для каждого выбора:

$N_1 = C_{15}^1 \times C_{20}^1 = 15 \times 20 = 300$ способов.

Ответ: 300 способов.

2) двух юношей

Необходимо выбрать 2 юношей из 20. Так как порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний.

Количество способов выбрать двух юношей из 20 равно:

$N_2 = C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2! \cdot 18!} = \frac{19 \times 20}{2 \times 1} = 19 \times 10 = 190$ способов.

Ответ: 190 способов.

3) двух девушек

Аналогично предыдущему пункту, необходимо выбрать 2 девушек из 15. Порядок выбора не важен, поэтому снова используем сочетания.

Количество способов выбрать двух девушек из 15 равно:

$N_3 = C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{14 \times 15}{2 \times 1} = 7 \times 15 = 105$ способов.

Ответ: 105 способов.

2.20. Сколькими способами на шахматной доске можно выбрать:

1) одну белую и одну черную клетки;

2) одну белую и одну черную клетки, не расположенные на одной горизонтали и на одной вертикали?

1) одну белую и одну черную клетки;

Стандартная шахматная доска представляет собой сетку $8 \times 8$, содержащую 64 клетки. Половина из них белые, а другая половина — черные. Следовательно, на доске имеется:

- 32 белые клетки

- 32 черные клетки

Нам нужно выбрать одну белую клетку и одну черную клетку. Эти два выбора являются независимыми друг от друга. Поэтому мы можем использовать комбинаторное правило произведения.

Количество способов выбрать одну белую клетку из 32 доступных равно $C_{32}^1 = 32$.

Количество способов выбрать одну черную клетку из 32 доступных равно $C_{32}^1 = 32$.

Общее количество способов выбрать одну белую и одну черную клетку равно произведению числа способов для каждого выбора:

$32 \times 32 = 1024$

Ответ: 1024.

2) одну белую и одну черную клетки, не расположенные на одной горизонтали и на одной вертикали?

Для решения этой задачи мы будем действовать пошагово, сначала выбрав белую клетку, а затем черную, удовлетворяющую заданным ограничениям.

Шаг 1: Выбор белой клетки.

На доске есть 32 белые клетки. Таким образом, существует 32 способа выбрать одну белую клетку.

Шаг 2: Выбор черной клетки.

После того как белая клетка выбрана, она занимает определенную горизонталь (строку) и определенную вертикаль (столбец). По условию задачи, черная клетка не должна находиться в той же строке или в том же столбце.

Давайте посчитаем, сколько черных клеток находится в той же строке и том же столбце, что и выбранная белая клетка.

- В каждой строке шахматной доски есть 4 белые и 4 черные клетки.

- В каждом столбце также есть 4 белые и 4 черные клетки.

Таким образом, в строке, где находится наша белая клетка, есть 4 черные клетки. В столбце, где она находится, также есть 4 черные клетки. Так как клетка на пересечении этой строки и столбца белая, то эти два множества черных клеток (4 в строке и 4 в столбце) не пересекаются.

Следовательно, общее количество "запрещенных" для выбора черных клеток равно $4 + 4 = 8$.

Всего на доске 32 черные клетки. Вычитая "запрещенные" клетки, мы получаем количество подходящих черных клеток для каждой выбранной белой:

$32 - 8 = 24$

Шаг 3: Вычисление общего числа способов.

Поскольку на первом шаге у нас было 32 способа выбрать белую клетку, и для каждого из этих способов существует 24 способа выбрать черную клетку, удовлетворяющую условию, общее число способов равно их произведению:

$32 \times 24 = 768$

Ответ: 768.

2.21. Каждый сотрудник Министерства внутренних дел владеет, по крайней мере, одним иностранным языком (английским, немецким или французским). Из них 10 владеют английским языком, 6 – немецким, 4 – французским, 4 – и английским, и немецким, 3 – и английским, и французским, 2 – и немецким, и французским, а один сотрудник владеет всеми тремя языками. Сколько:

1) сотрудников работают в отделе;

2) сотрудников владеют только одним иностранным языком?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств. Обозначим множества сотрудников, владеющих языками, следующим образом:

• $А$ – множество сотрудников, владеющих английским языком.

• $Н$ – множество сотрудников, владеющих немецким языком.

• $Ф$ – множество сотрудников, владеющих французским языком.

Из условия задачи нам известны мощности (количества элементов) этих множеств и их пересечений:

• $|А| = 10$

• $|Н| = 6$

• $|Ф| = 4$

• $|А \cap Н| = 4$ (владеют английским и немецким)

• $|А \cap Ф| = 3$ (владеют английским и французским)

• $|Н \cap Ф| = 2$ (владеют немецким и французским)

• $|А \cap Н \cap Ф| = 1$ (владеют всеми тремя языками)

1) сотрудников работают в отделе;

Поскольку каждый сотрудник владеет по крайней мере одним иностранным языком, общее число сотрудников в отделе равно количеству элементов в объединении трех множеств: $|А \cup Н \cup Ф|$.

Для нахождения этой величины используем формулу включений-исключений для трех множеств:

$|А \cup Н \cup Ф| = |А| + |Н| + |Ф| - (|А \cap Н| + |А \cap Ф| + |Н \cap Ф|) + |А \cap Н \cap Ф|$

Подставим известные значения в формулу:

$|А \cup Н \cup Ф| = 10 + 6 + 4 - (4 + 3 + 2) + 1$

$|А \cup Н \cup Ф| = 20 - 9 + 1 = 12$

Таким образом, всего в отделе работает 12 сотрудников.

Ответ: 12

2) сотрудников владеют только одним иностранным языком?

Чтобы найти количество сотрудников, владеющих только одним языком, нужно для каждого языка вычесть тех, кто владеет этим языком в комбинации с другими. Удобнее всего это сделать с помощью диаграммы Венна, последовательно заполняя количество людей в каждой области, начиная с центрального пересечения.

1. Владеют всеми тремя языками ($А \cap Н \cap Ф$): По условию это 1 сотрудник.

2. Владеют только английским и немецким: Всего английским и немецким владеют 4 человека, но 1 из них владеет еще и французским. Значит, только этими двумя языками владеют $4 - 1 = 3$ сотрудника.

3. Владеют только английским и французским: Аналогично, $3 - 1 = 2$ сотрудника.

4. Владеют только немецким и французским: Аналогично, $2 - 1 = 1$ сотрудник.

Теперь можем рассчитать количество сотрудников, владеющих только одним языком:

• Только английским: Из 10 человек, владеющих английским, вычитаем всех, кто владеет также другими языками: $10 - (\text{только А и Н}) - (\text{только А и Ф}) - (\text{все три}) = 10 - 3 - 2 - 1 = 4$ сотрудника.

• Только немецким: Из 6 человек, владеющих немецким, вычитаем: $6 - (\text{только А и Н}) - (\text{только Н и Ф}) - (\text{все три}) = 6 - 3 - 1 - 1 = 1$ сотрудник.

• Только французским: Из 4 человек, владеющих французским, вычитаем: $4 - (\text{только А и Ф}) - (\text{только Н и Ф}) - (\text{все три}) = 4 - 2 - 1 - 1 = 0$ сотрудников.

Суммируем полученные значения, чтобы найти общее число сотрудников, владеющих только одним языком:

$4 \text{ (только англ.)} + 1 \text{ (только нем.)} + 0 \text{ (только франц.)} = 5$

Таким образом, 5 сотрудников владеют только одним иностранным языком.

Ответ: 5