Номер 2.20, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.20. Сколькими способами на шахматной доске можно выбрать:

1) одну белую и одну черную клетки;

2) одну белую и одну черную клетки, не расположенные на одной горизонтали и на одной вертикали?

1) одну белую и одну черную клетки;

Стандартная шахматная доска представляет собой сетку $8 \times 8$, содержащую 64 клетки. Половина из них белые, а другая половина — черные. Следовательно, на доске имеется:

- 32 белые клетки

- 32 черные клетки

Нам нужно выбрать одну белую клетку и одну черную клетку. Эти два выбора являются независимыми друг от друга. Поэтому мы можем использовать комбинаторное правило произведения.

Количество способов выбрать одну белую клетку из 32 доступных равно $C_{32}^1 = 32$.

Количество способов выбрать одну черную клетку из 32 доступных равно $C_{32}^1 = 32$.

Общее количество способов выбрать одну белую и одну черную клетку равно произведению числа способов для каждого выбора:

$32 \times 32 = 1024$

Ответ: 1024.

2) одну белую и одну черную клетки, не расположенные на одной горизонтали и на одной вертикали?

Для решения этой задачи мы будем действовать пошагово, сначала выбрав белую клетку, а затем черную, удовлетворяющую заданным ограничениям.

Шаг 1: Выбор белой клетки.

На доске есть 32 белые клетки. Таким образом, существует 32 способа выбрать одну белую клетку.

Шаг 2: Выбор черной клетки.

После того как белая клетка выбрана, она занимает определенную горизонталь (строку) и определенную вертикаль (столбец). По условию задачи, черная клетка не должна находиться в той же строке или в том же столбце.

Давайте посчитаем, сколько черных клеток находится в той же строке и том же столбце, что и выбранная белая клетка.

- В каждой строке шахматной доски есть 4 белые и 4 черные клетки.

- В каждом столбце также есть 4 белые и 4 черные клетки.

Таким образом, в строке, где находится наша белая клетка, есть 4 черные клетки. В столбце, где она находится, также есть 4 черные клетки. Так как клетка на пересечении этой строки и столбца белая, то эти два множества черных клеток (4 в строке и 4 в столбце) не пересекаются.

Следовательно, общее количество "запрещенных" для выбора черных клеток равно $4 + 4 = 8$.

Всего на доске 32 черные клетки. Вычитая "запрещенные" клетки, мы получаем количество подходящих черных клеток для каждой выбранной белой:

$32 - 8 = 24$

Шаг 3: Вычисление общего числа способов.

Поскольку на первом шаге у нас было 32 способа выбрать белую клетку, и для каждого из этих способов существует 24 способа выбрать черную клетку, удовлетворяющую условию, общее число способов равно их произведению:

$32 \times 24 = 768$

Ответ: 768.