Номер 2.17, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17. Сколько существует трехзначных чисел, делящихся на 2, на 5 или на 7?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений. Нам нужно найти количество трехзначных чисел (от 100 до 999), которые делятся на 2, или на 5, или на 7.

Обозначим:
$A$ — множество трехзначных чисел, делящихся на 2.
$B$ — множество трехзначных чисел, делящихся на 5.
$C$ — множество трехзначных чисел, делящихся на 7.

Искомое количество чисел равно мощности объединения этих множеств $|A \cup B \cup C|$. Согласно принципу включений-исключений для трех множеств:

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$

Для нахождения количества чисел, кратных $k$ в диапазоне $[m, n]$, используется формула: $\lfloor \frac{n}{k} \rfloor - \lfloor \frac{m-1}{k} \rfloor$. В нашем случае $m=100, n=999$.

1. Количество чисел, делящихся на 2 ($|A|$)
$|A| = \lfloor \frac{999}{2} \rfloor - \lfloor \frac{100-1}{2} \rfloor = \lfloor \frac{999}{2} \rfloor - \lfloor \frac{99}{2} \rfloor = 499 - 49 = 450$.

2. Количество чисел, делящихся на 5 ($|B|$)
$|B| = \lfloor \frac{999}{5} \rfloor - \lfloor \frac{100-1}{5} \rfloor = \lfloor \frac{999}{5} \rfloor - \lfloor \frac{99}{5} \rfloor = 199 - 19 = 180$.

3. Количество чисел, делящихся на 7 ($|C|$)
$|C| = \lfloor \frac{999}{7} \rfloor - \lfloor \frac{100-1}{7} \rfloor = \lfloor \frac{999}{7} \rfloor - \lfloor \frac{99}{7} \rfloor = 142 - 14 = 128$.

4. Количество чисел, делящихся на 2 и 5 (на 10, $|A \cap B|$)
Число должно делиться на НОК(2, 5) = 10.
$|A \cap B| = \lfloor \frac{999}{10} \rfloor - \lfloor \frac{99}{10} \rfloor = 99 - 9 = 90$.

5. Количество чисел, делящихся на 2 и 7 (на 14, $|A \cap C|$)
Число должно делиться на НОК(2, 7) = 14.
$|A \cap C| = \lfloor \frac{999}{14} \rfloor - \lfloor \frac{99}{14} \rfloor = 71 - 7 = 64$.

6. Количество чисел, делящихся на 5 и 7 (на 35, $|B \cap C|$)
Число должно делиться на НОК(5, 7) = 35.
$|B \cap C| = \lfloor \frac{999}{35} \rfloor - \lfloor \frac{99}{35} \rfloor = 28 - 2 = 26$.

7. Количество чисел, делящихся на 2, 5 и 7 (на 70, $|A \cap B \cap C|$)
Число должно делиться на НОК(2, 5, 7) = 70.
$|A \cap B \cap C| = \lfloor \frac{999}{70} \rfloor - \lfloor \frac{99}{70} \rfloor = 14 - 1 = 13$.

Итоговый расчет
Подставим найденные значения в формулу включений-исключений:
$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$
$|A \cup B \cup C| = 450 + 180 + 128 - (90 + 64 + 26) + 13$
$= 758 - 180 + 13$
$= 578 + 13 = 591$.

Ответ: 591